Докажи, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: a) ∠BAC=∠ACD и ∠BCA=∠DAC.

Давай докажем, что четырехугольник ABCD - параллелограмм, когда: a) $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$ Раз $\angle BAC = \angle ACD$, то прямые AB и CD параллельны (это как если бы они были двумя линиями, и секущая AC пересекала их под одинаковыми углами). Аналогично, раз $\angle BCA = \angle DAC$, то прямые BC и AD тоже параллельны. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то это параллелограмм. Значит, ABCD - параллелограмм! б) $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle C$ Возьмем четырехугольник ABCD, у которого AB и CD параллельны, а углы A и C равны. Нужно доказать, что это параллелограмм. Поскольку AB || CD, углы A и D — внутренние односторонние при секущей AD, поэтому $\angle A + \angle D = 180^\circ$. То же самое верно и для углов C и B: $\angle C + \angle B = 180^\circ$. Мы знаем, что $\angle A = \angle C$. Подставим это в первое уравнение: $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Теперь у нас есть два уравнения: $\angle C + \angle D = 180^\circ$ и $\angle C + \angle B = 180^\circ$. Если мы вычтем одно уравнение из другого, то получим $\angle D - \angle B = 0$, или $\angle D = \angle B$. Итак, в четырехугольнике ABCD углы A и C равны, и углы B и D равны. Это значит, что противоположные углы равны. А если AB || CD и противоположные углы равны, то ABCD — параллелограмм. Вот и доказали!