Помоги мне разложить вектор AK по векторам a= AB, b = AD, C=AA₁ и найти длину этого вектора, если ребро куба равно m

Привет! Давай разберемся с этой задачкой по геометрии. Задача: Точка $K$ - середина ребра $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Нужно разложить вектор $\vec{AK}$ по векторам $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$, $\vec{c} = \vec{AA_1}$ и найти длину этого вектора, если ребро куба равно $m$. Решение: 1. Выразим вектор $\vec{AK}$ через известные векторы: $$\vec{AK} = \vec{AB_1} + \vec{B_1K}$$ 2. Теперь выразим $\vec{AB_1}$ и $\vec{B_1K}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$: $$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{c}$$ $$\vec{B_1K} = \frac{1}{2} \vec{B_1C_1} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{b}$$ 3. Подставим это в первое уравнение: $$\vec{AK} = (\vec{a} + \vec{c}) + \frac{1}{2}\vec{b} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$$ 4. Теперь найдем длину вектора $\vec{AK}$. Так как $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ взаимно перпендикулярны и имеют длину $m$, то: $$|\vec{AK}|^2 = |\vec{a}|^2 + \frac{1}{4}|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 = m^2 + \frac{1}{4}m^2 + m^2 = \frac{9}{4}m^2$$ 5. Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину: $$|\vec{AK}| = \sqrt{\frac{9}{4}m^2} = \frac{3}{2}m$$ **Ответ:** $\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$, длина вектора $\vec{AK}$ равна $\frac{3}{2}m$.