Объясни, как доказать, что значение выражения a) √(7-4√3)² -√(4−2√3)² является рациональным числом.

Конечно, давай разберемся с этими заданиями! Они могут показаться сложными, но если мы разложим их на простые шаги, то всё станет понятно. а) $\sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2} = |7-4\sqrt{3}| - |4-2\sqrt{3}|$ Теперь нужно понять, какие числа под модулем положительные, а какие отрицательные. Для этого сравним их с нулём: $7 > 4\sqrt{3}$ (так как $7^2 = 49$, а $(4\sqrt{3})^2 = 48$, и $49 > 48$) $4 > 2\sqrt{3}$ (так как $4^2 = 16$, а $(2\sqrt{3})^2 = 12$, и $16 > 12$) Значит, оба выражения под модулем положительные, и модуль можно просто убрать: $= (7-4\sqrt{3}) - (4-2\sqrt{3}) = 7 - 4\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3}$ б) $\sqrt{(37+12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37-12\sqrt{7})^2} = |37+12\sqrt{7}| + |37-12\sqrt{7}|$ Опять смотрим на знаки под модулем: $37 > 0$ и $12\sqrt{7} > 0$, значит $37 + 12\sqrt{7} > 0$ Теперь сравним $37$ и $12\sqrt{7}$: $37^2 = 1369$ $(12\sqrt{7})^2 = 144 \cdot 7 = 1008$ Так как $1369 > 1008$, то $37 > 12\sqrt{7}$, значит $37 - 12\sqrt{7} > 0$ Оба выражения под модулем положительные, поэтому просто убираем модуль: $= (37+12\sqrt{7}) + (37-12\sqrt{7}) = 37 + 12\sqrt{7} + 37 - 12\sqrt{7} = 74$ **Ответ:** а) $3 - 2\sqrt{3}$ б) $74$