Давай решим уравнения из твоего задания.
1. a) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$
Это показательное уравнение. Чтобы его решить, нужно представить обе части уравнения как степени с одинаковым основанием. Так как $8 = 2^3$, а $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, то уравнение можно переписать как:
$2^{-x} = 2^3$
Отсюда следует, что $-x = 3$, значит, $x = -3$.
**Ответ: x = -3**
б) $3^{2x+1} = 27$
Аналогично, представим обе части уравнения как степени с одинаковым основанием. Так как $27 = 3^3$, то уравнение можно переписать как:
$3^{2x+1} = 3^3$
Отсюда следует, что $2x + 1 = 3$. Решаем это уравнение:
$2x = 3 - 1$
$2x = 2$
$x = 1$
**Ответ: x = 1**
в) $\log_3 x = 2$
Это логарифмическое уравнение. По определению логарифма, $x = 3^2$, значит, $x = 9$.
**Ответ: x = 9**
г) $\log_{\frac{1}{3}} (4x + 1) = -2$
По определению логарифма, $4x + 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$. Так как $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$, то уравнение можно переписать как:
$4x + 1 = 9$
Решаем это уравнение:
$4x = 9 - 1$
$4x = 8$
$x = 2$
**Ответ: x = 2**
2. a) $9^{x+1} - 9^x = 72$
Представим $9^{x+1}$ как $9^x \cdot 9^1$. Тогда уравнение можно переписать как:
$9^x \cdot 9 - 9^x = 72$
Вынесем $9^x$ за скобки:
$9^x (9 - 1) = 72$
$9^x \cdot 8 = 72$
$9^x = \frac{72}{8}$
$9^x = 9$
Отсюда следует, что $x = 1$.
**Ответ: x = 1**
б) $\log_3 x - \log_9 x = 2$
Чтобы решить это уравнение, нужно перейти к одному основанию логарифма. Так как $9 = 3^2$, то $\log_9 x = \frac{1}{2} \log_3 x$. Уравнение можно переписать как:
$\log_3 x - \frac{1}{2} \log_3 x = 2$
$\frac{1}{2} \log_3 x = 2$
$\log_3 x = 4$
По определению логарифма, $x = 3^4$, значит, $x = 81$.
**Ответ: x = 81**
в) $\log_2(\log_{\frac{1}{2}} x) = 1$
По определению логарифма, $\log_{\frac{1}{2}} x = 2^1 = 2$. Снова используем определение логарифма:
$x = \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$x = \frac{1}{4}$
**Ответ: $x = \frac{1}{4}$**
3. a) $(\lg x)^2 - 2 \lg x = 3$
Пусть $y = \lg x$, тогда уравнение можно переписать как:
$y^2 - 2y - 3 = 0$
Решаем это квадратное уравнение. Его корни: $y_1 = -1$ и $y_2 = 3$.
Теперь нужно вернуться к переменной $x$. Если $y = -1$, то $\lg x = -1$, значит, $x = 10^{-1} = \frac{1}{10}$. Если $y = 3$, то $\lg x = 3$, значит, $x = 10^3 = 1000$.
**Ответ: $x_1 = \frac{1}{10}$, $x_2 = 1000$**
б) $2^{6x-1} - 7 \cdot 2^{3x-1} = 4$
Пусть $y = 2^{3x-1}$, тогда $2^{6x-1} = 2^{2(3x-1)+1} = 2 \cdot (2^{3x-1})^2 = 2y^2$. Уравнение можно переписать как:
$2y^2 - 7y - 4 = 0$
Решаем это квадратное уравнение. Его корни: $y_1 = -\frac{1}{2}$ и $y_2 = 4$.
Теперь нужно вернуться к переменной $x$. Если $y = -\frac{1}{2}$, то $2^{3x-1} = -\frac{1}{2}$. Так как показательная функция всегда положительна, этот случай не имеет решений. Если $y = 4$, то $2^{3x-1} = 4 = 2^2$, значит, $3x - 1 = 2$. Решаем это уравнение:
$3x = 3$
$x = 1$
**Ответ: x = 1**
в) $\log_3 x - \log_x 9 = 1$
Чтобы решить это уравнение, нужно перейти к одному основанию логарифма. Так как $\log_x 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 x} = \frac{2}{\log_3 x}$, то уравнение можно переписать как:
$\log_3 x - \frac{2}{\log_3 x} = 1$
Пусть $y = \log_3 x$, тогда уравнение можно переписать как:
$y - \frac{2}{y} = 1$
$y^2 - y - 2 = 0$
Решаем это квадратное уравнение. Его корни: $y_1 = -1$ и $y_2 = 2$.
Теперь нужно вернуться к переменной $x$. Если $y = -1$, то $\log_3 x = -1$, значит, $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Если $y = 2$, то $\log_3 x = 2$, значит, $x = 3^2 = 9$.
**Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = 9$**
г) $\log_4(5x - 4) - \frac{3}{\log_4(5x - 4) - 1} + 1 = 0$
Пусть $y = \log_4(5x - 4)$, тогда уравнение можно переписать как:
$y - \frac{3}{y - 1} + 1 = 0$
Приводим к общему знаменателю и получаем:
$\frac{y(y - 1) - 3 + (y - 1)}{y - 1} = 0$
$\frac{y^2 - y - 3 + y - 1}{y - 1} = 0$
$\frac{y^2 - 4}{y - 1} = 0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $y^2 - 4 = 0$. Тогда $y_1 = -2$ и $y_2 = 2$.
Теперь нужно вернуться к переменной $x$. Если $y = -2$, то $\log_4(5x - 4) = -2$, значит, $5x - 4 = 4^{-2} = \frac{1}{16}$. Решаем это уравнение:
$5x = 4 + \frac{1}{16}$
$5x = \frac{65}{16}$
$x = \frac{13}{16}$
Если $y = 2$, то $\log_4(5x - 4) = 2$, значит, $5x - 4 = 4^2 = 16$. Решаем это уравнение:
$5x = 20$
$x = 4$
**Ответ: $x_1 = \frac{13}{16}$, $x_2 = 4$**
д) $4^x - 6 \cdot 4^{-x} = 2,5$
Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на $4^x$:
$(4^x)^2 - 6 = 2,5 \cdot 4^x$
Пусть $y = 4^x$, тогда уравнение можно переписать как:
$y^2 - 2,5y - 6 = 0$
Решаем это квадратное уравнение. Его корни: $y_1 = -1,5$ и $y_2 = 4$.
Теперь нужно вернуться к переменной $x$. Если $y = -1,5$, то $4^x = -1,5$. Так как показательная функция всегда положительна, этот случай не имеет решений. Если $y = 4$, то $4^x = 4$, значит, $x = 1$.
**Ответ: x = 1**
