2.1: Делители числа 37: 1, 37.
Делители числа 35: 1, 5, 7, 35.
Делители числа 99: 1, 3, 9, 11, 33, 99.
2.2: Чтобы определить, какие из чисел 107, 123, 367, 409, 531, 557, 853, 977 являются простыми, нужно проверить, делятся ли они на какие-нибудь числа, кроме 1 и самих себя. Если не делятся, то число простое.
107 - простое
123 - составное
367 - простое
409 - простое
531 - составное
557 - простое
853 - простое
977 - простое
2.3: Числа 2876, 4500, 777777, 595599 составные, потому что они делятся как минимум на 2.
2.4: Нет, произведение двух простых чисел не может быть простым числом, так как у него будет как минимум три делителя: 1, первое простое число, второе простое число и само произведение.
2.5: Площадь квадрата может быть выражена квадратом натурального числа (например, 4, 9, 16 и т.д.), так как площадь квадрата равна стороне, возведенной в квадрат.
2.6: Объём куба может быть выражен кубом натурального числа (например, 8, 27, 64 и т.д.), так как объём куба равен ребру, возведенному в куб.
2.7:
a) Число делится на 7. Это может быть, например, число 14, оно составное.
б) Число делится на 12. Это может быть, например, число 24, оно составное.
2.8:
a) 44 = 4 * 11; 333 = 3 * 111
б) 98 = 2 * 49; 453 = 3 * 151
в) 156 = 2 * 78; 225 = 5 * 45
2.9:
a) Число 20 можно разложить на два множителя несколькими способами: 1 * 20, 2 * 10, 4 * 5.
Число 46 можно разложить на два множителя несколькими способами: 1 * 46, 2 * 23.
Число 77 можно разложить на два множителя несколькими способами: 1 * 77, 7 * 11.
б) Размеры теплицы могут быть, например, 4м * 6м, 3м * 8м, 2м * 12м.
2.10: Нет, не все чётные числа являются составными. Например, число 2 является простым.
2.11:
a) Например, число 17 является простым и оканчивается на цифру 7.
б) Например, 2 + 3 = 5. 2 и 3 - простые числа, и их сумма 5 - тоже простое число. Но 3+5 = 8 - составное число.
2.12:
a) 37 * 3 = 111
б) 7 * 11 * 13 = 1001
в) 11 * 101 = 1111
2.13:
a) 101 * 3 * 37 = 11211
б) 7 * 13 * 11 * 101 = 102001
в) 3 * 7 * 11 * 13 * 37 = 111111
г) 3 * 37 * 11 * 101 = 123231
2.14:
a) 108 = 2^2 * 3^3; 225 = 3^2 * 5^2; 270 = 2 * 3^3 * 5; 512 = 2^9; 945 = 3^3 * 5 * 7; 1024 = 2^10
б) 90 = 2 * 3^2 * 5; 180 = 2^2 * 3^2 * 5; 270 = 2 * 3^3 * 5; 350 = 2 * 5^2 * 7; 450 = 2 * 3^2 * 5^2; 1350 = 2 * 3^3 * 5^2; 4500 = 2^2 * 3^2 * 5^3
в) 13 = 13; 2002 = 2 * 7 * 11 * 13; 1225 = 5^2 * 7^2; 14014 = 2 * 7 * 17 * 59; 90720 = 2^5 * 3^2 * 5 * 63
2.15: Двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух или трёх одинаковых множителей:
2^2 = 4 (не подходит, так как однозначное)
3^2 = 9 (не подходит, так как однозначное)
5^2 = 25
7^2 = 49
2^3 = 8 (не подходит, так как однозначное)
3^3 = 27
5^3 = 125 (не подходит, так как трехзначное)
Такие числа называют совершенными степенями.
2.16:
a) 14 = 2 * 7; 21 = 3 * 7; 35 = 5 * 7; 49 = 7 * 7; 77 = 7 * 11; 91 = 7 * 13
б) 38 = 2 * 19; 57 = 3 * 19
в) 58 = 2 * 29; 87 = 3 * 29
г) 86 = 2 * 43
2.17:
Чтобы определить, делится ли число n на число m нацело, нужно проверить, есть ли все простые множители числа m в разложении числа n.
a) n = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 * 7 и m = 2 * 2 * 7: Да, делится.
б) n = 2 * 5 * 5 * 17 * 17 и m = 2 * 3 * 5: Нет, не делится, так как в числе m есть множитель 3, которого нет в числе n.
в) n = 3 * 3 * 5 * 7 * 19 и m = 3 * 3 * 7 * 19: Да, делится.
г) n = 2 * 3 * 5 * 7 * 7 * 7 и m = 35: Да, делится.
д) n = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 * 11 и m = 308: Нет, не делится.
e) n = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 11 и m = 1000: Нет, не делится.
