Реши задачу 567: Найди площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 11 см

567. a) Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, когда известны его катеты, нужно перемножить длины катетов и разделить результат на 2. В данном случае, $S = (4 \cdot 11) / 2 = 22$ кв. см. б) Сначала переведём дециметры в сантиметры: 1,2 дм = 12 см, 3 дм = 30 см. Затем найдём площадь: $S = (12 \cdot 30) / 2 = 180$ кв. см. 568. Недостаточно данных для точного решения. Нужно знать хотя бы длину одного из катетов. Допущение: Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $x$ и $\frac{7}{12}x$. Тогда площадь $S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{7}{12}x = \frac{7}{24}x^2$. По условию $S = 168$. Получаем уравнение: $\frac{7}{24}x^2 = 168$. Решаем уравнение: $x^2 = 168 \cdot \frac{24}{7} = 24 \cdot 24$. Значит, $x = 24$ см. Тогда второй катет равен $\frac{7}{12} \cdot 24 = 14$ см. 569. a) Чтобы найти радиус вписанной окружности, когда известны периметр и площадь треугольника, можно воспользоваться формулой: $r = \frac{2S}{P}$. В данном случае, $r = \frac{2 \cdot 84}{56} = 3$. б) Чтобы найти площадь, когда известны периметр и радиус вписанной окружности, можно воспользоваться формулой: $S = \frac{1}{2}Pr$. В данном случае, $S = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot 3,5 = 252$. в) Чтобы найти сторону $a$, когда известны две другие стороны, радиус вписанной окружности и площадь, можно воспользоваться формулой: $S = pr$, где $p$ — полупериметр. Сначала найдем полупериметр: $p = \frac{S}{r} = \frac{42}{2} = 21$. Потом найдем сторону $a$: $a = 2p - b - c = 2 \cdot 21 - 15 - 20 = 7$. 570. Для решения задачи потребуется формула площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$. Радиус известен, нужно найти полупериметр. По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки, имеем: $AP = AR = 5$ см, $BQ = BP = 5$ см, $CR = CQ = 6$ см. Тогда стороны треугольника равны: $AB = AP + BP = 5 + 5 = 10$ см, $BC = BQ + CQ = 5 + 6 = 11$ см, $AC = AR + CR = 5 + 6 = 11$ см. Полупериметр равен: $p = (AB + BC + AC) / 2 = (10 + 11 + 11) / 2 = 16$ см. Площадь треугольника равна: $S = p \cdot r = 16 \cdot 3 = 48$ кв. см. **Ответ:** 567. а) 22 кв. см, б) 180 кв. см 568. 14 см и 24 см 569. а) 3, б) 252, в) 7 570. 48 кв. см