Помоги мне найти sin α, если tg α = 2√2 и 0 < α < π/2

Question

Вопрос:

Помоги мне найти sin α, если tg α = 2√2 и 0 < α < π/2

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы найти $\sin \alpha$, когда известен $\tan \alpha$ и интервал для $\alpha$, можно воспользоваться следующими формулами и знаниями: 1. **Основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус:** $$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ 2. **Выражение для синуса через тангенс и косинус:** $$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha$$ 3. **Учитываем интервал для $\alpha$:** Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, где и синус, и косинус положительны. **Решение:** 1. Найдем $\cos^2 \alpha$: $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1 + 8} = \frac{1}{9}$$ 2. Найдем $\cos \alpha$ (учитывая, что он положительный в первой четверти): $$\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$ 3. Найдем $\sin \alpha$: $$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ **Ответ: $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$**

Помоги мне найти sin α, если tg α = 2√2 и 0 &lt; α &lt; π/2

Ответ ассистента

Другие решения

Помоги мне найти sin α, если tg α = 2√2 и 0 < α < π/2