Можешь помочь решить задачи 473-478 про параллелограммы?

473. Давай решим задачу про параллелограмм ABCD. У тебя есть параллелограмм, у которого периметр равен 50 см, угол C равен 30 градусам, а высота BH, проведённая к прямой CD, равна 6,5 см. Нужно найти стороны параллелограмма. Сначала, вспомни, что периметр параллелограмма - это сумма длин всех его сторон. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, можно сказать, что периметр равен $$2(AB + BC) = 50$$. Отсюда $$AB + BC = 25$$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В нём угол C равен 30 градусам, а BH - это катет, лежащий напротив этого угла. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит, $$BC = 2 Imes BH = 2 Imes 6,5 = 13$$ см. Подставим найденное значение BC в уравнение $$AB + BC = 25$$, чтобы найти AB: $$AB + 13 = 25$$, следовательно, $$AB = 25 - 13 = 12$$ см. **Ответ:** Стороны параллелограмма равны 12 см и 13 см. 474. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Нужно найти периметр этого параллелограмма, если BK = 15 см, KC = 9 см. Допущение: ABCD - параллелограмм. Так как AK - биссектриса, то угол BAK равен углу KAD. Угол BKA равен углу KAD как внутренний накрест лежащий угол при параллельных прямых BC и AD и секущей AK. Следовательно, угол BAK равен углу BKA, а значит, треугольник BAK - равнобедренный, и сторона AB равна стороне BK, то есть AB = 15 см. Сторона BC состоит из отрезков BK и KC. Значит, BC = BK + KC = 15 + 9 = 24 см. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то есть P = 2 \* (AB + BC) = 2 \* (15 + 24) = 2 \* 39 = 78 см. **Ответ:** Периметр параллелограмма равен 78 см. 475. Давай решим задачу, где нужно найти периметр параллелограмма, зная, что биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см. Допущение: ABCD - параллелограмм, биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E, BE = 7 см, EC = 14 см. Поскольку AE - биссектриса угла A, то углы BAE и EAD равны. Угол BEA равен углу EAD как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AE. Следовательно, треугольник ABE равнобедренный, и AB = BE = 7 см. Сторона BC равна сумме отрезков BE и EC, то есть BC = BE + EC = 7 + 14 = 21 см. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то есть P = 2 \* (AB + BC) = 2 \* (7 + 21) = 2 \* 28 = 56 см. **Ответ:** Периметр параллелограмма равен 56 см. 476. a) Если ∠A = 84°, то ∠C = 84°, так как углы A и C противоположные в параллелограмме. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Значит, ∠B = 180° - 84° = 96°, и ∠D = 96°. **Ответ:** ∠A = 84°, ∠B = 96°, ∠C = 84°, ∠D = 96°. 476. б) Если ∠A - ∠B = 55°, и ∠A + ∠B = 180° (потому что это углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма), можно решить систему уравнений: $$\begin{cases} ∠A - ∠B = 55 \\ ∠A + ∠B = 180 \end{cases}$$ Сложим эти два уравнения: 2∠A = 235°, значит, ∠A = 117,5°. Тогда ∠B = 180° - 117,5° = 62,5°. В параллелограмме противоположные углы равны, значит, ∠C = ∠A = 117,5°, ∠D = ∠B = 62,5°. **Ответ:** ∠A = 117,5°, ∠B = 62,5°, ∠C = 117,5°, ∠D = 62,5°. 476. в) Если ∠A + ∠C = 142°, то, поскольку ∠A = ∠C, ∠A = 142° / 2 = 71°. Значит, и ∠C = 71°. Углы A и B, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°, поэтому ∠B = 180° - 71° = 109°. ∠D = ∠B = 109°. **Ответ:** ∠A = 71°, ∠B = 109°, ∠C = 71°, ∠D = 109°. 476. г) Если ∠A = 2∠B, и ∠A + ∠B = 180° (как углы, прилежащие к одной стороне), то 2∠B + ∠B = 180°, 3∠B = 180°, ∠B = 60°. Тогда ∠A = 2 \* 60° = 120°. В параллелограмме противоположные углы равны, значит, ∠C = ∠A = 120°, ∠D = ∠B = 60°. **Ответ:** ∠A = 120°, ∠B = 60°, ∠C = 120°, ∠D = 60°. 476. д) Если ∠CAD = 16° и ∠ACD = 37°, то ∠A = ∠CAD + ∠CAB, ∠C = ∠ACD + ∠ACB. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Рассмотрим треугольник ACD, ∠D = 180° - (16° + 37°) = 127°. Значит ∠B = ∠D = 127°. В параллелограмме ABCD ∠A + ∠D = 180°, ∠A = 180° - ∠D = 180° - 127° = 53°. В параллелограмме ABCD ∠C = ∠A = 53°. **Ответ:** ∠A = 53°, ∠B = 127°, ∠C = 53°, ∠D = 127°. 477. Задача про параллелограмм MNPQ с перпендикуляром NH к прямой MQ. Допущение: MNPQ - параллелограмм В прямоугольном треугольнике MNH угол MNH = 30°. Значит, катет MH равен половине гипотенузы MN (свойство угла 30°). То есть MN = 2 \* MH = 2 \* 3 = 6 см. По условию, HQ = 5 см, значит, MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8 см. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть NP = MQ = 8 см и PQ = MN = 6 см. Теперь найдем углы. В прямоугольном треугольнике MNH угол MNH = 30°, значит, угол NMH = 90° - 30° = 60°. Так как MNPQ - параллелограмм, то угол MQP = 180° - угол NMH = 180° - 60° = 120°. Угол PNM = углу MQP = 120°. Угол MPQ = углу PNM = 60°. **Ответ:** Стороны параллелограмма: MN = 6 см, PQ = 6 см, NP = 8 см, MQ = 8 см. Углы параллелограмма: ∠M = 60°, ∠N = 120°, ∠P = 60°, ∠Q = 120°. 478. Чтобы доказать, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником, нужно показать, что он лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. В выпуклом четырёхугольнике все его внутренние углы меньше 180 градусов. Так как в параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, а противоположные углы равны, то сумма двух соседних углов равна 180 градусов. Следовательно, каждый из углов меньше 180 градусов. Поэтому, параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.