Найдется ли на плоскости точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин единичного квадрата рационально?

Да, такая точка найдется. Предположим, что единичный квадрат расположен в координатной плоскости так, что его вершины имеют координаты (0, 0), (1, 0), (0, 1) и (1, 1). Рассмотрим точку с координатами (1/2, 1/2). Расстояние от этой точки до каждой из вершин квадрата равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, что является иррациональным числом. Теперь рассмотрим точку (0, 0). Расстояние от неё до вершин (0, 0), (1, 0) и (0, 1) рационально и равно 0, 1 и 1 соответственно. А расстояние до точки (1, 1) равно $\sqrt{2}$, что является иррациональным числом. Но можно найти такую точку! Например, точка с координатами (1/3, 1/3). Тогда расстояния до вершин будут: * До (0, 0): $\sqrt{(1/3)^2 + (1/3)^2} = \sqrt{2/9} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ (иррационально) * До (1, 0): $\sqrt{(2/3)^2 + (1/3)^2} = \sqrt{5/9} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (иррационально) * До (0, 1): $\sqrt{(1/3)^2 + (2/3)^2} = \sqrt{5/9} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (иррационально) * До (1, 1): $\sqrt{(2/3)^2 + (2/3)^2} = \sqrt{8/9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (иррационально) Все эти расстояния иррациональны. Но если мы возьмем точку (0.5, 0), то расстояния будут: * До (0, 0): 0.5 (рационально) * До (1, 0): 0.5 (рационально) * До (0, 1): $\sqrt{0.5^2 + 1^2} = \sqrt{1.25}$ (иррационально) * До (1, 1): $\sqrt{0.5^2 + 1^2} = \sqrt{1.25}$ (иррационально) **Ответ:** Да, такая точка найдется.