Объясни, как доказать, что при любом значении переменной значение дроби положительное, и при каком значении a дробь принимает наибольшее значение.

Привет! Давай решим эти задания вместе. **18.** Чтобы доказать, что при любом значении переменной значение дроби положительное, отрицательное, неотрицательное или неположительное, нужно рассмотреть каждую дробь отдельно: а) $\frac{3}{x^2 + 1}$ Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен, так как $x^2$ всегда неотрицателен (либо равен нулю, либо положителен), и к нему прибавляется 1. Числитель равен 3, что тоже положительное число. Значит, вся дробь положительна. б) $\frac{-5}{y^2 + 4}$ Знаменатель $y^2 + 4$ всегда положителен, как и в предыдущем случае. Числитель равен -5, что является отрицательным числом. Значит, вся дробь отрицательна. в) $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ Числитель $(a - 1)^2$ всегда неотрицателен, так как любое число в квадрате либо положительное, либо нуль. Знаменатель $a^2 + 10$ всегда положителен. Значит, вся дробь неотрицательна. г) $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ Числитель $(b - 3)^2$ всегда неотрицателен. Знаменатель $-b^2 - 1$ всегда отрицателен, так как $-b^2$ всегда неположителен (либо нуль, либо отрицательное число), и вычитается еще 1. Значит, вся дробь неположительна. **19.** Теперь найдем, при каком значении $a$ дробь принимает наибольшее значение: а) $\frac{4}{a^2 + 5}$ Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель должен быть наименьшим. Наименьшее значение $a^2$ равно 0 (когда $a = 0$). Тогда знаменатель будет $0 + 5 = 5$, и дробь будет равна $\frac{4}{5}$. **Ответ:** $a = 0$ б) $\frac{10}{(a - 3)^2 + 1}$ Здесь также нужно, чтобы знаменатель был наименьшим. Выражение $(a - 3)^2$ будет наименьшим, когда $a - 3 = 0$, то есть $a = 3$. Тогда знаменатель будет $(3 - 3)^2 + 1 = 0 + 1 = 1$, и дробь будет равна $\frac{10}{1} = 10$. **Ответ:** $a = 3$