Ты просишь меня решить задачи по геометрии: найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, если известна площадь и один из острых углов, и найти $AB$, если $AH = 7$, $AC = 28$

Конечно, давай решим эти задачки вместе! 3. Площадь прямоугольного треугольника равна $32\sqrt{3}$. Один из острых углов равен $30^\circ$. Найдите длину гипотенузы. В прямоугольном треугольнике с углом $30^\circ$ катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы. Обозначим гипотенузу как $c$, тогда меньший катет (лежащий напротив угла в $30^\circ$) будет $\frac{c}{2}$. Второй катет можно найти, используя тангенс угла в $30^\circ$, он будет равен $\frac{c}{2} \cdot \sqrt{3}$. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как половину произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{c\sqrt{3}}{2} = \frac{c^2 \sqrt{3}}{8}$$ По условию, площадь равна $32\sqrt{3}$, поэтому: \begin{aligned} \frac{c^2 \sqrt{3}}{8} &= 32\sqrt{3} \\ c^2 &= 32 \cdot 8 \\ c^2 &= 256 \\ c &= 16 \end{aligned} **Ответ: 16** 4. Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 7$, $AC = 28$. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, образует два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. Рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $ABH$. Они подобны по двум углам (угол $A$ общий, и оба треугольника прямоугольные). Из подобия треугольников следует пропорция: $$\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB}$$ Отсюда можно найти $AB$: $$AB^2 = AC \cdot AH$$ $$AB^2 = 28 \cdot 7 = 196$$ $$AB = \sqrt{196} = 14$$ **Ответ: 14**