При каком максимальном k Костя сможет прибавить к числителям по k, чтобы сумма полученных дробей всё ещё была меньше 1, если даны натуральные числа $a_1, a_2,..., a_5, b_1, b_2,..., b_5$ таковы, что все дроби $\frac{a_i}{b_i}$ попарно различны и каждая из них меньше 1/5?

Эта задача немного сложная, но давай разберемся вместе! Сначала, нам нужно понять, что у нас есть 5 дробей, каждая из которых меньше $\frac{1}{5}$. Это значит, что каждая дробь $\frac{a_i}{b_i} < \frac{1}{5}$. Теперь Костя хочет прибавить к каждому числителю $k$. Тогда каждая дробь станет $\frac{a_i + k}{b_i}$. Наша цель - найти такое наибольшее $k$, чтобы сумма всех этих новых дробей была меньше 1. $\sum_{i=1}^{5} \frac{a_i + k}{b_i} < 1$ $\sum_{i=1}^{5} \frac{a_i}{b_i} + \sum_{i=1}^{5} \frac{k}{b_i} < 1$ Так как мы ищем наибольшее $k$, которое *заведомо* подойдет, нам нужно рассмотреть самый неблагоприятный случай. Самый неблагоприятный случай - это когда все дроби $\frac{a_i}{b_i}$ максимально близки к $\frac{1}{5}$. Например, $\frac{a_i}{b_i} = \frac{1}{5} - \epsilon$, где $\epsilon$ - очень маленькое число. В таком случае, $\sum_{i=1}^{5} \frac{a_i}{b_i}$ будет близко к $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. Но так как все дроби различны, сумма будет меньше 1. Теперь давай подумаем, что произойдет, когда мы добавим $k$ к числителям. Нам нужно, чтобы даже в самом неблагоприятном случае, когда исходная сумма дробей близка к 1, новая сумма оставалась меньше 1. Чтобы сумма оставалась меньше 1, нам нужно, чтобы добавление $k$ не сильно увеличило каждую дробь. Это значит, что $k$ должно быть достаточно маленьким. Теперь сложный момент: для каждой дроби прибавляется $k$ единиц к числителю. Если мы хотим гарантировать, что сумма останется меньше 1, нужно рассмотреть случай, когда исходные дроби были максимально большими, но меньше $\frac{1}{5}$. Если каждая из исходных дробей была очень близка к $\frac{1}{5}$, то их сумма была бы близка к 1. Нам нужно, чтобы добавление $k$ не привело к тому, что сумма превысит 1. Поскольку все дроби различны и меньше $\frac{1}{5}$, то $\sum_{i=1}^{5} \frac{a_i}{b_i} < 1$. Когда мы добавляем $k$ к числителю каждой дроби, новая дробь становится $\frac{a_i + k}{b_i}$. Мы хотим, чтобы $\sum_{i=1}^{5} \frac{a_i + k}{b_i} < 1$. $\sum_{i=1}^{5} \frac{a_i + k}{b_i} = \sum_{i=1}^{5} \frac{a_i}{b_i} + k \sum_{i=1}^{5} \frac{1}{b_i} < 1$ Мы знаем, что каждая дробь $\frac{a_i}{b_i} < \frac{1}{5}$. Значит, $5a_i < b_i$, или $\frac{1}{b_i} < \frac{1}{5a_i}$. Чтобы найти максимальное $k$, можно начать с малых значений и проверить, когда сумма становится больше 1. Если $k=1$, то мы прибавляем 1 к каждому числителю. Попробуем рассмотреть конкретный пример. Пусть у нас есть дроби $\frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$. Их сумма меньше 1. Если мы прибавим 1 к каждому числителю, то получим $\frac{2}{6}, \frac{2}{7}, \frac{2}{8}, \frac{2}{9}, \frac{2}{10}$. Эта сумма тоже будет меньше 1. Если мы возьмем $k=1$, то $\sum_{i=1}^{5} \frac{a_i + 1}{b_i} < 1$. **Ответ: 1**