Ты просишь доказать, что четырехугольник APCQ — параллелограмм, если на диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB=QD.

Для доказательства того, что четырехугольник $APCQ$ — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны. 1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $AB = CD$, а также $AD \parallel BC$ и $AD = BC$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle CDQ$. У них: * $AB = CD$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$), * $\angle ABP = \angle CDQ$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$), * $PB = QD$ (по условию). Следовательно, $\triangle ABP = \triangle CDQ$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 3. Из равенства треугольников следует, что $AP = CQ$ и $\angle BAP = \angle DCQ$. 4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADP$ и $\triangle CBQ$. У них: * $AD = BC$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$), * $\angle ADP = \angle CBQ$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$), * $PD = BQ$ (так как $BD = BP + PD = QD + BQ$ и $BP = QD$ по условию, следовательно, $PD = BQ$). Следовательно, $\triangle ADP = \triangle CBQ$ по первому признаку равенства треугольников. 5. Из равенства треугольников следует, что $AP = CQ$ и $\angle DAP = \angle BCQ$. 6. Таким образом, $APCQ$ — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно равны.