Давай решим эти примеры по порядку, используя свойства степеней. Помни, что при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении – вычитаются.
1. $\frac{(9^4) \cdot 9^3}{9^3 \cdot (9^4)^4} = \frac{9^{4+3}}{9^3 \cdot 9^{4\cdot4}} = \frac{9^7}{9^3 \cdot 9^{16}} = \frac{9^7}{9^{3+16}} = \frac{9^7}{9^{19}} = 9^{7-19} = 9^{-12} = \frac{1}{9^{12}}$
2. $\frac{5^7 \cdot (5^6)^4}{5^{21} \cdot (5^2)^4} = \frac{5^7 \cdot 5^{6\cdot4}}{5^{21} \cdot 5^{2\cdot4}} = \frac{5^7 \cdot 5^{24}}{5^{21} \cdot 5^8} = \frac{5^{7+24}}{5^{21+8}} = \frac{5^{31}}{5^{29}} = 5^{31-29} = 5^2 = 25$
3. $\frac{(3^6)^4 \cdot 3^5}{3^2 \cdot (3^5)^5} = \frac{3^{6\cdot4} \cdot 3^5}{3^2 \cdot 3^{5\cdot5}} = \frac{3^{24} \cdot 3^5}{3^2 \cdot 3^{25}} = \frac{3^{24+5}}{3^{2+25}} = \frac{3^{29}}{3^{27}} = 3^{29-27} = 3^2 = 9$
4. $\frac{(5^4)^5 \cdot 5^5}{(5^3)^3 \cdot 5^{10}} = \frac{5^{4\cdot5} \cdot 5^5}{5^{3\cdot3} \cdot 5^{10}} = \frac{5^{20} \cdot 5^5}{5^9 \cdot 5^{10}} = \frac{5^{20+5}}{5^{9+10}} = \frac{5^{25}}{5^{19}} = 5^{25-19} = 5^6 = 15625$
5. $\frac{(4^6)^5 \cdot 4^5}{4^{25} \cdot (4^4)^2} = \frac{4^{6\cdot5} \cdot 4^5}{4^{25} \cdot 4^{4\cdot2}} = \frac{4^{30} \cdot 4^5}{4^{25} \cdot 4^8} = \frac{4^{30+5}}{4^{25+8}} = \frac{4^{35}}{4^{33}} = 4^{35-33} = 4^2 = 16$
6. $\frac{16^8}{4^7 \cdot 4^7} = \frac{(4^2)^8}{4^7 \cdot 4^7} = \frac{4^{2\cdot8}}{4^{7+7}} = \frac{4^{16}}{4^{14}} = 4^{16-14} = 4^2 = 16$
7. $\frac{16^2 \cdot 16^7}{64^5} = \frac{16^{2+7}}{64^5} = \frac{16^9}{(4^3)^5} = \frac{(4^2)^9}{4^{3\cdot5}} = \frac{4^{18}}{4^{15}} = 4^{18-15} = 4^3 = 64$
8. $\frac{16^8}{4^2 \cdot 16^6} = \frac{16^8}{4^2 \cdot 16^6} = \frac{16^8}{(4^2) \cdot 16^6} = \frac{16^8}{16 \cdot 16^6} = \frac{16^8}{16^{1+6}} = \frac{16^8}{16^7} = 16^{8-7} = 16^1 = 16$
9. $\frac{4^8 \cdot 16}{4^6} = \frac{4^8 \cdot 4^2}{4^6} = \frac{4^{8+2}}{4^6} = \frac{4^{10}}{4^6} = 4^{10-6} = 4^4 = 256$
10. $\frac{8^8}{8^6 \cdot 4^2} = \frac{8^8}{8^6 \cdot (2^2)^2} = \frac{8^8}{8^6 \cdot 2^4} = \frac{(2^3)^8}{(2^3)^6 \cdot 2^4} = \frac{2^{24}}{2^{18} \cdot 2^4} = \frac{2^{24}}{2^{18+4}} = \frac{2^{24}}{2^{22}} = 2^{24-22} = 2^2 = 4$
11. $\frac{42^8}{7^7 \cdot 6^7} = \frac{(7 \cdot 6)^8}{7^7 \cdot 6^7} = \frac{7^8 \cdot 6^8}{7^7 \cdot 6^7} = 7^{8-7} \cdot 6^{8-7} = 7^1 \cdot 6^1 = 7 \cdot 6 = 42$
12. $\frac{5^8 \cdot 2^9}{10^7} = \frac{5^8 \cdot 2^9}{(5 \cdot 2)^7} = \frac{5^8 \cdot 2^9}{5^7 \cdot 2^7} = 5^{8-7} \cdot 2^{9-7} = 5^1 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20$
13. \textbf{Допущение:} В условии ошибка, и в знаменателе должно быть $6^5 \cdot 5^6$ вместо $96 \cdot 56$.
$\frac{45^7}{6^5 \cdot 5^6} = \frac{(9 \cdot 5)^7}{6^5 \cdot 5^6} = \frac{9^7 \cdot 5^7}{6^5 \cdot 5^6} = \frac{(3^2)^7 \cdot 5^7}{(2 \cdot 3)^5 \cdot 5^6} = \frac{3^{14} \cdot 5^7}{2^5 \cdot 3^5 \cdot 5^6} = \frac{3^{14-5} \cdot 5^{7-6}}{2^5} = \frac{3^9 \cdot 5}{2^5} = \frac{19683 \cdot 5}{32} = \frac{98415}{32} = 3075.46875$
14. $\frac{9^4 \cdot 2^7}{18^4} = \frac{9^4 \cdot 2^7}{(9 \cdot 2)^4} = \frac{9^4 \cdot 2^7}{9^4 \cdot 2^4} = 2^{7-4} = 2^3 = 8$
15. $\frac{14^9}{2^7 \cdot 7^8} = \frac{(2 \cdot 7)^9}{2^7 \cdot 7^8} = \frac{2^9 \cdot 7^9}{2^7 \cdot 7^8} = 2^{9-7} \cdot 7^{9-8} = 2^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 7 = 28$
Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие примеры!
