Вычисли, пожалуйста, (2-1) * (3 + 21)

1. Чтобы вычислить $(2-i)(3+2i)$, используем правило умножения комплексных чисел: $$(2-i)(3+2i) = 2*3 + 2*(2i) - i*3 - i*(2i) = 6 + 4i - 3i - 2i^2$$ Так как $i^2 = -1$, то $$6 + 4i - 3i - 2(-1) = 6 + i + 2 = 8 + i$$ 2. Чтобы найти интеграл $\int e^x (2x-1) dx$, используем интегрирование по частям. Пусть $u = 2x - 1$ и $dv = e^x dx$. Тогда $du = 2 dx$ и $v = e^x$. Интеграл по частям: $\int u dv = uv - \int v du$ Применяем: $$\int e^x (2x-1) dx = (2x-1)e^x - \int e^x * 2 dx = (2x-1)e^x - 2\int e^x dx = (2x-1)e^x - 2e^x + C = e^x(2x - 1 - 2) + C = e^x(2x - 3) + C$$ 3. Чтобы исследовать на сходимость несобственный интеграл $\int_2^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^2} dx$, можно использовать замену переменной. Пусть $u = \ln x$, тогда $du = \frac{1}{x} dx$. Пределы интегрирования тоже меняются: когда $x = 2$, $u = \ln 2$, и когда $x \to \infty$, $u \to \infty$. Тогда интеграл становится: $\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u^2} du$ Этот интеграл можно вычислить как: $\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-2} du = [-\frac{1}{u}]_{\ln 2}^{\infty} = -(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{\ln 2}) = \frac{1}{\ln 2}$ Так как интеграл сходится к конечному числу, то он сходится. 4. Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = \cos x$, и $x = 0$, нужно найти точку пересечения $y = \sin x$ и $y = \cos x$. Это происходит, когда $\sin x = \cos x$, то есть $x = \frac{\pi}{4}$. Площадь вычисляется как интеграл разности функций от 0 до $\frac{\pi}{4}$: $$S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$$ 5. Чтобы решить дифференциальное уравнение $y' - y \tg x = \frac{1}{\cos x}$, это линейное уравнение первого порядка. Можно использовать метод интегриющего множителя. Интегрирующий множитель: $\mu(x) = e^{-\int \tg x dx} = e^{-\int \frac{\sin x}{\cos x} dx} = e^{\ln |\cos x|} = \cos x$ Умножаем обе части уравнения на $\cos x$: $$y' \cos x - y \sin x = 1$$ Замечаем, что левая часть - это производная произведения $y \cos x$: $$(y \cos x)' = 1$$ Интегрируем обе части по $x$: $$\int (y \cos x)' dx = \int 1 dx$$ $$y \cos x = x + C$$ Выражаем $y$: $$y = \frac{x + C}{\cos x}$$ 6. Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения $2y' = \frac{x^2}{y} + \frac{x}{y}$, удовлетворяющее начальным условиям $y(1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, нужно сначала решить общее решение. $$2yy' = x^2 + x$$ Интегрируем обе части по $x$: $$\int 2yy' dx = \int (x^2 + x) dx$$ $$y^2 = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$$ Используем начальное условие $y(1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + C$$ $$\frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} + C$$ $$C = \frac{1}{2} - \frac{5}{6} = \frac{3 - 5}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$ Тогда: $$y^2 = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - \frac{1}{3}$$ $$y = \sqrt{\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - \frac{1}{3}}$$ 7. Чтобы написать форму частного решения неоднородного уравнения $y'' + 5y' + 6y = e^{2x}$, сначала найдем общее решение однородного уравнения $y'' + 5y' + 6y = 0$. Характеристическое уравнение: $k^2 + 5k + 6 = 0$ $(k + 2)(k + 3) = 0$ $k_1 = -2$, $k_2 = -3$ Общее решение однородного уравнения: $y_{общее} = C_1e^{-2x} + C_2e^{-3x}$ Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Так как правая часть $e^{2x}$, то ищем частное решение в виде $y_{частное} = Ae^{2x}$. $y' = 2Ae^{2x}$, $y'' = 4Ae^{2x}$ Подставляем в исходное уравнение: $$4Ae^{2x} + 5(2Ae^{2x}) + 6Ae^{2x} = e^{2x}$$ $$4A + 10A + 6A = 1$$ $$20A = 1$$ $$A = \frac{1}{20}$$ Значит, частное решение: $y_{частное} = \frac{1}{20}e^{2x}$ Общее решение неоднородного уравнения: $y = C_1e^{-2x} + C_2e^{-3x} + \frac{1}{20}e^{2x}$ 8. Чтобы вычислить криволинейный интеграл $\int_L (x^2 - 2xy) dx + (y^2 - 2xy) dy$, где $L$ - дуга параболы $y = x^2$ от точки $A(0,0)$ до точки $B(1,1)$, нужно параметризовать дугу параболы. Пусть $x = t$, тогда $y = t^2$. $0 \le t \le 1$. $dx = dt$, $dy = 2t dt$ Подставляем в интеграл: $$\int_0^1 (t^2 - 2t^3) dt + (t^4 - 2t^3) 2t dt = \int_0^1 (t^2 - 2t^3 + 2t^5 - 4t^4) dt = [\frac{t^3}{3} - \frac{2t^4}{4} + \frac{2t^6}{6} - \frac{4t^5}{5}]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{4}{5} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{4}{5} = \frac{20 - 15 - 24}{30} = \frac{-19}{30}$$ 9. Чтобы вычислить двойной интеграл $\iint_D (4x - 3y) dxdy$ по области, ограниченной линиями $x = 0$, $y = 2$, $y = x$, нужно определить пределы интегрирования. Область $D$ ограничена $x = 0$, $y = 2$, $y = x$. Значит, $0 \le x \le 2$ и $x \le y \le 2$. $$\int_0^2 \int_x^2 (4x - 3y) dy dx = \int_0^2 [4xy - \frac{3}{2}y^2]_x^2 dx = \int_0^2 (8x - 6 - 4x^2 + \frac{3}{2}x^2) dx = \int_0^2 (8x - 6 - \frac{5}{2}x^2) dx = [4x^2 - 6x - \frac{5}{6}x^3]_0^2 = 16 - 12 - \frac{5}{6} * 8 = 4 - \frac{40}{6} = 4 - \frac{20}{3} = \frac{12 - 20}{3} = -\frac{8}{3}$$ 10. Чтобы вычислить тройной интеграл $\iiint_V x^2y^2z dxdydz$, где $1 \le x \le 3$, $0 \le y \le 2$, $2 \le z \le 5$, нужно просто вычислить последовательные интегралы: $$\int_1^3 \int_0^2 \int_2^5 x^2y^2z dz dy dx = \int_1^3 x^2 dx * \int_0^2 y^2 dy * \int_2^5 z dz$$ $$\int_1^3 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$ $$\int_0^2 y^2 dy = [\frac{y^3}{3}]_0^2 = \frac{8}{3}$$ $$\int_2^5 z dz = [\frac{z^2}{2}]_2^5 = \frac{25}{2} - \frac{4}{2} = \frac{21}{2}$$ $$\frac{26}{3} * \frac{8}{3} * \frac{21}{2} = \frac{26 * 8 * 21}{3 * 3 * 2} = \frac{26 * 4 * 7}{3} = \frac{728}{3}$$