Можешь найти область определения выражений с корнями?

Давай найдем область определения для выражений с корнями. Помни, что под корнем не может быть отрицательное число, иначе это будут комплексные числа, а их проходят в старших классах. 1. 10 а) $\sqrt{3x^2 + 28x + 9}$: Чтобы найти область определения, нужно решить неравенство: $3x^2 + 28x + 9 \geq 0$. Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 28x + 9 = 0$. $$D = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676$$ $$x_1 = \frac{-28 + \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{-28 + 26}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-28 - \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{-28 - 26}{6} = \frac{-54}{6} = -9$$ Теперь определим знаки квадратного трехчлена на интервалах: $(-\infty; -9]$, $[-9; -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}; +\infty)$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, то на крайних интервалах будет знак плюс, а в середине — минус. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. **Ответ:** $x \in (-\infty; -9] \cup [-\frac{1}{3}; +\infty)$. 1. 10 б) $\sqrt{5x - x^2 + 6}$: Нужно решить неравенство: $5x - x^2 + 6 \geq 0$. Перепишем его в виде: $-x^2 + 5x + 6 \geq 0$. Умножим на $-1$, чтобы было удобнее: $x^2 - 5x - 6 \leq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$ $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Определим знаки квадратного трехчлена на интервалах: $(-\infty; -1]$, $[-1; 6]$, $[6; +\infty)$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, то на крайних интервалах будет знак плюс, а в середине — минус. Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. **Ответ:** $x \in [-1; 6]$. 1. 10 в) $\sqrt{2x^2 + 7x - 9}$: Решаем неравенство: $2x^2 + 7x - 9 \geq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 7x - 9 = 0$: $$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$ $$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$$ Определим знаки квадратного трехчлена на интервалах: $(-\infty; -4.5]$, $[-4.5; 1]$, $[1; +\infty)$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, то на крайних интервалах будет знак плюс, а в середине — минус. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. **Ответ:** $x \in (-\infty; -4.5] \cup [1; +\infty)$. 1. 10 г) $\sqrt{21 - 4x - x^2}$: Решаем неравенство: $21 - 4x - x^2 \geq 0$. Перепишем: $-x^2 - 4x + 21 \geq 0$. Умножим на $-1$: $x^2 + 4x - 21 \leq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$ $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ Определим знаки квадратного трехчлена на интервалах: $(-\infty; -7]$, $[-7; 3]$, $[3; +\infty)$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, то на крайних интервалах будет знак плюс, а в середине — минус. Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. **Ответ:** $x \in [-7; 3]$. 1. 11 а) $\frac{1}{\sqrt{4-2x}}$ Тут нужно, чтобы $4-2x > 0$, так как корень в знаменателе, а знаменатель не может быть равен нулю. $4 > 2x$, значит $x < 2$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 2)$. 1. 11 б) $\sqrt{(3 + x)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{3+x}}$ Тут надо, чтобы $3+x > 0$, то есть $x > -3$. **Ответ:** $x \in (-3; +\infty)$. 1. 11 в) $\frac{10}{\sqrt{-x-5}}$ Тут надо, чтобы $-x-5 > 0$, то есть $-x > 5$, или $x < -5$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -5)$. 1. 11 г) $\sqrt{2x - 4}$ (в условии не видно) Тут надо, чтобы $2x-4 \geq 0$, то есть $2x \geq 4$, или $x \geq 2$. **Ответ:** $x \in [2; +\infty)$. 1. 12 а) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 18x + 77}}$ Надо, чтобы $x^2 - 18x + 77 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 18x + 77 = 0$: $D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 77 = 324 - 308 = 16$ $x_1 = \frac{18 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 4}{2} = \frac{22}{2} = 11$ $x_2 = \frac{18 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$ Значит, $x \in (-\infty; 7) \cup (11; +\infty)$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 7) \cup (11; +\infty)$. 1. 12 б) $\sqrt{(10x^2 - 11x - 6)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{10x^2 - 11x - 6}}$ Надо, чтобы $10x^2 - 11x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $10x^2 - 11x - 6 = 0$: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-6) = 121 + 240 = 361$ $x_1 = \frac{11 + \sqrt{361}}{2 \cdot 10} = \frac{11 + 19}{20} = \frac{30}{20} = 1.5$ $x_2 = \frac{11 - \sqrt{361}}{2 \cdot 10} = \frac{11 - 19}{20} = \frac{-8}{20} = -0.4$ Значит, $x \in (-\infty; -0.4) \cup (1.5; +\infty)$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -0.4) \cup (1.5; +\infty)$. 1. 12 в) $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9x - 36}}$ Надо, чтобы $x^2 + 9x - 36 > 0$. Корни уравнения $x^2 + 9x - 36 = 0$: $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$ $x_1 = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 15}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ Значит, $x \in (-\infty; -12) \cup (3; +\infty)$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -12) \cup (3; +\infty)$. 1. 12 г) $\sqrt{(12x^2 + 13x - 4)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{12x^2 + 13x - 4}}$ Надо, чтобы $12x^2 + 13x - 4 > 0$. Корни уравнения $12x^2 + 13x - 4 = 0$: $D = 13^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-4) = 169 + 192 = 361$ $x_1 = \frac{-13 + \sqrt{361}}{2 \cdot 12} = \frac{-13 + 19}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0.25$ $x_2 = \frac{-13 - \sqrt{361}}{2 \cdot 12} = \frac{-13 - 19}{24} = \frac{-32}{24} = -\frac{4}{3} \approx -1.33$ Значит, $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$. 1. 13 а) $\frac{1}{\sqrt{-a^2 - a + 2}}$ Надо, чтобы $-a^2 - a + 2 > 0$. Умножим на $-1$: $a^2 + a - 2 < 0$. Корни уравнения $a^2 + a - 2 = 0$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$ $a_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $a_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ Значит, $a \in (-2; 1)$. **Ответ:** $a \in (-2; 1)$. 1. 13 б) $\sqrt{(-b^2 + 3b + 4)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-b^2 + 3b + 4}}$ Надо, чтобы $-b^2 + 3b + 4 > 0$. Умножим на $-1$: $b^2 - 3b - 4 < 0$. Корни уравнения $b^2 - 3b - 4 = 0$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$ $b_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ $b_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Значит, $b \in (-1; 4)$. **Ответ:** $b \in (-1; 4)$. 1. 13 в) $\frac{7}{\sqrt{14 - 2c^2 - 3c}}$ Надо, чтобы $14 - 2c^2 - 3c > 0$. Умножим на $-1$: $2c^2 + 3c - 14 < 0$. Корни уравнения $2c^2 + 3c - 14 = 0$: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121$ $c_1 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $c_2 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$ Значит, $c \in (-3.5; 2)$. **Ответ:** $c \in (-3.5; 2)$. 1. 13 г) $\sqrt{(-3y^2 + 10y - 3)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-3y^2 + 10y - 3}}$ Надо, чтобы $-3y^2 + 10y - 3 > 0$. Умножим на $-1$: $3y^2 - 10y + 3 < 0$. Корни уравнения $3y^2 - 10y + 3 = 0$: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$ $y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$ $y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ Значит, $y \in (\frac{1}{3}; 3)$. **Ответ:** $y \in (\frac{1}{3}; 3)$. 1. 14 а) $\sqrt{(3 - x)(x + 7)}$ Надо, чтобы $(3 - x)(x + 7) \geq 0$. Найдем корни: $3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$ и $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$. Метод интервалов: $x \in [-7; 3]$. **Ответ:** $x \in [-7; 3]$. 1. 14 б) $\frac{1}{\sqrt{(y - 4)(3y + 5)}}$ Надо, чтобы $(y - 4)(3y + 5) > 0$. Найдем корни: $y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4$ и $3y + 5 = 0 \Rightarrow y = -\frac{5}{3}$. Метод интервалов: $y \in (-\infty; -\frac{5}{3}) \cup (4; +\infty)$. **Ответ:** $y \in (-\infty; -\frac{5}{3}) \cup (4; +\infty)$. 1. 14 в) $\sqrt{(t + 4)(9 + t)}$ Надо, чтобы $(t + 4)(9 + t) \geq 0$. Найдем корни: $t + 4 = 0 \Rightarrow t = -4$ и $9 + t = 0 \Rightarrow t = -9$. Метод интервалов: $t \in (-\infty; -9] \cup [-4; +\infty)$. **Ответ:** $t \in (-\infty; -9] \cup [-4; +\infty)$. 1. 14 г) $\frac{-5}{\sqrt{(2z - 1)(-z - 3)}}$ Надо, чтобы $(2z - 1)(-z - 3) > 0$. Найдем корни: $2z - 1 = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{2}$ и $-z - 3 = 0 \Rightarrow z = -3$. Метод интервалов: $z \in (-3; \frac{1}{2})$. **Ответ:** $z \in (-3; \frac{1}{2})$.