Найди модуль и аргумент комплексного числа z = (ū⁴) / (v³)

Привет! Давай разберемся с задачей про комплексные числа. Нам нужно найти модуль и аргумент числа $z = \frac{\overline{u}^4}{v^3}$, где $u = 4(\cos(\frac{\pi}{8}) + i\sin(\frac{\pi}{8}))$ и $v = 3(\cos(\frac{\pi}{9}) + i\sin(\frac{\pi}{9}))$. Сначала вспомним, что модуль произведения (или частного) равен произведению (или частному) модулей, а аргумент произведения (или частного) равен сумме (или разности) аргументов. Еще нам понадобится формула Муавра: $(\cos(\phi) + i\sin(\phi))^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi)$. 1. Найдем модуль и аргумент числа $u$: $|u| = 4$, $\arg(u) = \frac{\pi}{8}$. 2. Найдем модуль и аргумент числа $\overline{u}$ (комплексно сопряженного к $u$). Модуль не меняется, а аргумент меняет знак: $|\overline{u}| = 4$, $\arg(\overline{u}) = -\frac{\pi}{8}$. 3. Теперь найдем модуль и аргумент числа $\overline{u}^4$. Используем формулу Муавра: $|\overline{u}^4| = |\overline{u}|^4 = 4^4 = 256$, $\arg(\overline{u}^4) = 4 \cdot \arg(\overline{u}) = 4 \cdot (-\frac{\pi}{8}) = -\frac{\pi}{2}$. 4. Найдем модуль и аргумент числа $v$: $|v| = 3$, $\arg(v) = \frac{\pi}{9}$. 5. Найдем модуль и аргумент числа $v^3$: $|v^3| = |v|^3 = 3^3 = 27$, $\arg(v^3) = 3 \cdot \arg(v) = 3 \cdot \frac{\pi}{9} = \frac{\pi}{3}$. 6. Теперь найдем модуль и аргумент числа $z = \frac{\overline{u}^4}{v^3}$: $|z| = \frac{|\overline{u}^4|}{|v^3|} = \frac{256}{27}$, $\arg(z) = \arg(\overline{u}^4) - \arg(v^3) = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{6}$. 7. Нам нужно, чтобы аргумент лежал в отрезке $[0, 2\pi)$. Для этого прибавим к аргументу $2\pi$: $\arg(z) = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$. **Ответ:** $|z| = \frac{256}{27}$, $\arg(z) = \frac{7\pi}{6}$.