Объясни, как записать числа в развёрнутом виде, перевести числа в десятичную систему счисления, определить, в каких системах счисления справедливо равенство, проверить равенства и вычислить выражения

Привет! Давай разберём эти задания по порядку. Они про системы счисления, и сейчас я тебе всё объясню простыми словами. 1. **Записать в развёрнутом виде числа.** Чтобы записать число в развёрнутом виде, нужно представить его как сумму произведений цифр на основание системы счисления в соответствующей степени. Например, для числа $125,34_{10}$ это будет выглядеть так: $$1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 + 3 \cdot 10^{-1} + 4 \cdot 10^{-2}$$ То же самое делаем и для других чисел: * $125,34_8 = 1 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 + 3 \cdot 8^{-1} + 4 \cdot 8^{-2}$ * $125,34_6 = 1 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6^1 + 5 \cdot 6^0 + 3 \cdot 6^{-1} + 4 \cdot 6^{-2}$ * $125,34_{16} = 1 \cdot 16^2 + 2 \cdot 16^1 + 5 \cdot 16^0 + 3 \cdot 16^{-1} + 4 \cdot 16^{-2}$ 2. **Перевести числа в десятичную систему счисления.** Чтобы перевести число в десятичную систему счисления, нужно просто вычислить значение развёрнутой формы числа, как мы сделали в первом задании. Вот примеры: a) $341_8 = 3 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0 = 3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 1 \cdot 1 = 192 + 32 + 1 = 225_{10}$ г) $34,1_5 = 3 \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^0 + 1 \cdot 5^{-1} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 1 \cdot \frac{1}{5} = 15 + 4 + 0,2 = 19,2_{10}$ б) $341_6 = 3 \cdot 6^2 + 4 \cdot 6^1 + 1 \cdot 6^0 = 3 \cdot 36 + 4 \cdot 6 + 1 \cdot 1 = 108 + 24 + 1 = 133_{10}$ в) $341_{16} = 3 \cdot 16^2 + 4 \cdot 16^1 + 1 \cdot 16^0 = 3 \cdot 256 + 4 \cdot 16 + 1 \cdot 1 = 768 + 64 + 1 = 833_{10}$ д) $E41A,12_{16} = 14 \cdot 16^3 + 4 \cdot 16^2 + 1 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0 + 1 \cdot 16^{-1} + 2 \cdot 16^{-2} = 57344 + 1024 + 16 + 10 + 0,0625 + 0,0078125 = 58394,0703125_{10}$ 3. **В каких системах счисления справедливо равенство:** Чтобы проверить, в каких системах счисления равенство справедливо, нужно перевести обе части равенства в десятичную систему и сравнить результаты. a) $2 \cdot 2 = 10$ В десятичной системе: $2 \cdot 2 = 4$ и $10_{10} = 10$. Равенство неверно. б) $2 \cdot 3 = 11$ В десятичной системе: $2 \cdot 3 = 6$ и $11_{10} = 11$. Равенство неверно. в) $3 \cdot 3 = 13$ В десятичной системе: $3 \cdot 3 = 9$ и $13_{10} = 13$. Равенство неверно. 4. **Верны ли следующие равенства?** Чтобы проверить, верны ли равенства, нужно перевести обе части равенства в десятичную систему и сравнить результаты. a) $33_4 = 21_7$ $33_4 = 3 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0 = 12 + 3 = 15_{10}$ $21_7 = 2 \cdot 7^1 + 1 \cdot 7^0 = 14 + 1 = 15_{10}$ Равенство верно. б) $33_8 = 21_4$ $33_8 = 3 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 24 + 3 = 27_{10}$ $21_4 = 2 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0 = 8 + 1 = 9_{10}$ Равенство неверно. 5. **Найдите основание $x$ системы счисления, если:** Чтобы найти основание системы счисления, нужно составить уравнение, исходя из записи числа, и решить его. a) $14_x = 9_{10}$ $1 \cdot x^1 + 4 \cdot x^0 = 9$ $x + 4 = 9$ $x = 5$ б) $2002_x = 130_{10}$ $2 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 + 2 \cdot x^0 = 130$ $2x^3 + 2 = 130$ $2x^3 = 128$ $x^3 = 64$ $x = 4$ 6. **Вычислите выражения:** Чтобы вычислить выражения, нужно сначала перевести все числа в десятичную систему счисления, выполнить действия, а затем, если требуется, перевести результат обратно в нужную систему счисления. а) $(1111101_2 + AF_{16}) : 36_8$ * Переведём $1111101_2$ в десятичную систему: $1111101_2 = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 125_{10}$ * Переведём $AF_{16}$ в десятичную систему: $AF_{16} = 10 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 160 + 15 = 175_{10}$ * Переведём $36_8$ в десятичную систему: $36_8 = 3 \cdot 8^1 + 6 \cdot 8^0 = 24 + 6 = 30_{10}$ * Выполним сложение и деление: $(125_{10} + 175_{10}) : 30_{10} = 300 : 30 = 10_{10}$ б) $125_8 + 101_2 \cdot 2A_{16} - 141_8$ * Переведём $125_8$ в десятичную систему: $125_8 = 1 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 64 + 16 + 5 = 85_{10}$ * Переведём $101_2$ в десятичную систему: $101_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5_{10}$ * Переведём $2A_{16}$ в десятичную систему: $2A_{16} = 2 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0 = 32 + 10 = 42_{10}$ * Переведём $141_8$ в десятичную систему: $141_8 = 1 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0 = 64 + 32 + 1 = 97_{10}$ * Выполним умножение и вычитания: $85_{10} + 5_{10} \cdot 42_{10} - 97_{10} = 85 + 210 - 97 = 198_{10}$ **Ответ:** 1. Развёрнутый вид чисел: * $125,34_8 = 1 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 + 3 \cdot 8^{-1} + 4 \cdot 8^{-2}$ * $125,34_6 = 1 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6^1 + 5 \cdot 6^0 + 3 \cdot 6^{-1} + 4 \cdot 6^{-2}$ * $125,34_{16} = 1 \cdot 16^2 + 2 \cdot 16^1 + 5 \cdot 16^0 + 3 \cdot 16^{-1} + 4 \cdot 16^{-2}$ 2. Десятичные значения чисел: a) $225_{10}$ г) $19,2_{10}$ б) $133_{10}$ в) $833_{10}$ д) $58394,0703125_{10}$ 3. Равенства неверны. 4. Равенства: a) Верно. б) Неверно. 5. Основания систем счисления: a) $x = 5$ б) $x = 4$ 6. Результаты выражений: a) $10_{10}$ б) $198_{10}$