Нужно доказать неравенства 6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a; и (2р - 1)(2р + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p и найти q, если разность корней уравнения x² - 8x + q = 0 равна 16

52. a) Чтобы доказать неравенство $6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a$, раскроем скобки и упростим обе части: Сначала раскроем скобки в правой части: $$(3a + 1)(2a + 1) + a = 6a^2 + 3a + 2a + 1 + a = 6a^2 + 6a + 1$$ Теперь запишем неравенство с раскрытыми скобками: $$6a^2 + 6a < 6a^2 + 6a + 1$$ Вычтем $6a^2 + 6a$ из обеих частей неравенства: $$0 < 1$$ Так как $0 < 1$ всегда верно, то исходное неравенство доказано для любого значения $a$. б) Чтобы доказать неравенство $(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p$, раскроем скобки и упростим обе части: Сначала раскроем скобки в левой части: $$(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) = 4p^2 - 1 + 3p + 3 = 4p^2 + 3p + 2$$ Теперь раскроем скобки в правой части: $$(4p + 3)p = 4p^2 + 3p$$ Запишем неравенство с раскрытыми скобками: $$4p^2 + 3p + 2 > 4p^2 + 3p$$ Вычтем $4p^2 + 3p$ из обеих частей неравенства: $$2 > 0$$ Так как $2 > 0$ всегда верно, то исходное неравенство доказано для любого значения $p$. 53. а) Дано уравнение $x^2 - 8x + q = 0$. Разность корней равна 16. Нужно найти $q$. Воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней $x_1 \\cdot x_2 = \frac{c}{a}$. В нашем случае $a = 1$, $b = -8$, $c = q$. Значит, $$x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8$$ $$x_1 \\cdot x_2 = \frac{q}{1} = q$$ Из условия задачи известно, что $x_1 - x_2 = 16$. У нас есть система уравнений: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 - x_2 = 16 \\end{cases}$$ Сложим эти два уравнения: $$2x_1 = 24$$ $$x_1 = 12$$ Теперь найдем $x_2$: $$12 + x_2 = 8$$ $$x_2 = 8 - 12 = -4$$ Теперь найдем $q$ как произведение корней: $$q = x_1 \\cdot x_2 = 12 \\cdot (-4) = -48$$ б) Дано уравнение $x^2 - 7x + q = 0$. Сумма квадратов корней равна 29. Нужно найти $q$. Снова воспользуемся теоремой Виета: $$x_1 + x_2 = -\frac{-7}{1} = 7$$ $$x_1 \\cdot x_2 = \frac{q}{1} = q$$ Из условия известно, что $x_1^2 + x_2^2 = 29$. Мы знаем, что $$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$$ Выразим $x_1^2 + x_2^2$: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$$ Подставим известные значения: $$29 = (7)^2 - 2q$$ $$29 = 49 - 2q$$ Решим уравнение относительно $q$: $$2q = 49 - 29$$ $$2q = 20$$ $$q = 10$$ **Ответ:** 52. а) Неравенство доказано. б) Неравенство доказано. 53. а) $q = -48$. б) $q = 10$.