Как найти синус угла A в треугольнике ABC, если угол C равен 90°, tg(B) = 3√217/16?

Привет! Давай решим эту задачку вместе. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, нам дан тангенс угла $B$: $tg(B) = \frac{3\sqrt{217}}{16}$. Нужно найти синус угла $A$. Поскольку $A$ и $B$ — острые углы в прямоугольном треугольнике, они в сумме дают 90 градусов: $A + B = 90^{\circ}$. Значит, $A = 90^{\circ} - B$. Нам нужно найти $\sin(A)$. Мы знаем, что $\sin(A) = \sin(90^{\circ} - B)$. А еще есть такая полезная формула: $\sin(90^{\circ} - B) = \cos(B)$. Получается, что $\sin(A) = \cos(B)$. Теперь нам нужно найти $\cos(B)$, зная $\tg(B)$. Мы знаем, что $\tg(B) = \frac{\sin(B)}{\cos(B)}$. Также есть основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(B) + \cos^2(B) = 1$. Выразим $\sin(B)$ через $\tg(B)$ и $\cos(B)$: $\sin(B) = \tg(B) \cdot \cos(B)$. Подставим это в основное тригонометрическое тождество: $(\tg(B) \cdot \cos(B))^2 + \cos^2(B) = 1$ $\tg^2(B) \cdot \cos^2(B) + \cos^2(B) = 1$ $\cos^2(B) (\tg^2(B) + 1) = 1$ $\cos^2(B) = \frac{1}{\tg^2(B) + 1}$ $\cos(B) = \sqrt{\frac{1}{\tg^2(B) + 1}}$ Подставим значение $\tg(B) = \frac{3\sqrt{217}}{16}$: $\cos(B) = \sqrt{\frac{1}{(\frac{3\sqrt{217}}{16})^2 + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{9 \cdot 217}{256} + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{1953}{256} + \frac{256}{256}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{2209}{256}}} = \sqrt{\frac{256}{2209}} = \frac{16}{\sqrt{2209}} = \frac{16}{47}$ Итак, $\cos(B) = \frac{16}{47}$. Поскольку $\sin(A) = \cos(B)$, то $\sin(A) = \frac{16}{47}$. **Ответ: $\frac{16}{47}$**