Помоги мне вычислить угол между векторами: а) а {2;-2; 0} и б {3; 0; -3}

Конечно, давай помогу! Чтобы найти угол между векторами, можно использовать формулу, связанную со скалярным произведением. Она выглядит так: $\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ Где: * $\vec{a} \cdot \vec{b}$ это скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. * $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ это длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно. * $\theta$ это угол между векторами, который мы ищем. Давай разберём каждый пункт из твоего задания. а) $\vec{a} = {2; -2; 0}$ и $\vec{b} = {3; 0; -3}$; * Сначала найдём скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \cdot 3) + (-2 \cdot 0) + (0 \cdot -3) = 6 + 0 + 0 = 6$ * Теперь найдём длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ * Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\theta) = \frac{6}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{6}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ * Теперь найдём угол $\theta$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Это угол 60 градусов или $\frac{\pi}{3}$ радиан. **Ответ: 60°** б) $\vec{a} = {\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2}$ и $\vec{b} = {-3; -3; 0}$; * Сначала найдём скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{2} \cdot -3) + (\sqrt{2} \cdot -3) + (2 \cdot 0) = -3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 0 = -6\sqrt{2}$ * Теперь найдём длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ $|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ * Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\theta) = \frac{-6\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-6\sqrt{2}}{6 \cdot 2} = \frac{-6\sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ * Теперь найдём угол $\theta$, косинус которого равен $-{\frac{\sqrt{2}}{2}}$. Это угол 135 градусов или $\frac{3\pi}{4}$ радиан. **Ответ: 135°** в) $\vec{a} = {0; 5; 0}$ и $\vec{b} = {0; -\sqrt{3}; 1}$; * Сначала найдём скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (0 \cdot 0) + (5 \cdot -\sqrt{3}) + (0 \cdot 1) = 0 - 5\sqrt{3} + 0 = -5\sqrt{3}$ * Теперь найдём длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{0 + 25 + 0} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ * Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\theta) = \frac{-5\sqrt{3}}{5 \cdot 2} = \frac{-5\sqrt{3}}{10} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ * Теперь найдём угол $\theta$, косинус которого равен $-{\frac{\sqrt{3}}{2}}$. Это угол 150 градусов или $\frac{5\pi}{6}$ радиан. **Ответ: 150°** г) $\vec{a} = {-2,5; 2,5; 0}$ и $\vec{b} = {-5; 5; 5\sqrt{2}}$; * Сначала найдём скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2.5 \cdot -5) + (2.5 \cdot 5) + (0 \cdot 5\sqrt{2}) = 12.5 + 12.5 + 0 = 25$ * Теперь найдём длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $|\vec{a}| = \sqrt{(-2.5)^2 + (2.5)^2 + 0^2} = \sqrt{6.25 + 6.25 + 0} = \sqrt{12.5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ $|\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 25 + 50} = \sqrt{100} = 10$ * Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\theta) = \frac{25}{\frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot 10} = \frac{25}{\frac{50\sqrt{2}}{2}} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * Теперь найдём угол $\theta$, косинус которого равен ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$. Это угол 45 градусов или $\frac{\pi}{4}$ радиан. **Ответ: 45°** д) $\vec{a} = {-\sqrt{2}; -\sqrt{2}; -2}$ и $\vec{b} = {\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; -1}$. * Сначала найдём скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + (-2 \cdot -1) = -\frac{2}{2} - \frac{2}{2} + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$ * Раз скалярное произведение равно нулю, угол между векторами 90 градусов. **Ответ: 90°**