Докажи, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC=∠ACD и ∠BCA= ∠DAC

Конечно, давай докажем! а) Раз $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, это означает, что у нас есть две пары равных углов. Если мы посмотрим на прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AC$, то увидим, что $\angle BAC$ и $\angle ACD$ - это накрест лежащие углы. А раз они равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Аналогично, $\angle BCA$ и $\angle DAC$ тоже накрест лежащие углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. И раз они тоже равны, то и прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Получается, что у четырехугольника $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны, а это и есть признак параллелограмма! б) Если $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, то тут нужно немного подумать. $\angle A$ и $\angle C$ - это противоположные углы в четырехугольнике. Если они равны, это уже кое-что говорит о симметрии фигуры. Но чтобы доказать, что это параллелограмм, нам нужно показать, что либо еще одна пара сторон параллельна, либо еще одна пара углов равна. Допустим, что $AB \parallel CD$. Так как сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, а $\angle A = \angle C$, то получается, что $\angle B = \angle D$. И так как $\angle A + \angle B = 180^\circ$ (потому что они односторонние при параллельных прямых $AB$ и $CD$), то и $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Значит, противоположные углы попарно равны, а это еще один признак параллелограмма!