Объясни, при каких значениях x имеет смысл выражение: sqrt((2x + 4) / (x^2 + 8x - 48))

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. Они про то, когда выражения имеют смысл, про области определения и про решение неравенств. **1.30 При каких значениях x имеет смысл выражение:** а) $\sqrt{\frac{2x + 4}{x^2 + 8x - 48}}$ Чтобы выражение имело смысл, нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель не равнялся нулю. То есть, надо решить систему: * $2x + 4 \ge 0$ * $x^2 + 8x - 48 > 0$ Решаем первое неравенство: $2x + 4 \ge 0$\Rightarrow$2x \ge -4$\Rightarrow$x \ge -2$ Решаем второе неравенство: $x^2 + 8x - 48 > 0$\Rightarrow$(x + 12)(x - 4) > 0$ Корни: $x = -12$ и $x = 4$. Интервалы: $(-\infty; -12)$, $(-12; 4)$, $(4; +\infty)$. Решение: $x < -12$ или $x > 4$. Теперь нужно учесть оба условия: $x \ge -2$ и ($x < -12$ или $x > 4$). Получаем: $x > 4$. б) $\sqrt{\frac{14 - x^2 + 5x}{x + 2}}$ Тут тоже нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель не равнялся нулю. Значит: * $14 - x^2 + 5x \ge 0$ * $x + 2 > 0$ Решаем первое неравенство: $-x^2 + 5x + 14 \ge 0$\Rightarrow$x^2 - 5x - 14 \le 0$\Rightarrow$(x - 7)(x + 2) \le 0$ Корни: $x = -2$ и $x = 7$. Интервалы: $(-\infty; -2]$, $[-2; 7]$, $[7; +\infty)$. Решение: $-2 \le x \le 7$. Решаем второе неравенство: $x + 2 > 0$\Rightarrow$x > -2$ Теперь учитываем оба условия: $-2 \le x \le 7$ и $x > -2$. Получаем: $-2 < x \le 7$. в) $\sqrt{\frac{x^2 + 7x + 10}{6 - x}}$ Условия: * $x^2 + 7x + 10 \ge 0$ * $6 - x > 0$ Решаем первое неравенство: $x^2 + 7x + 10 \ge 0$\Rightarrow$(x + 5)(x + 2) \ge 0$ Корни: $x = -5$ и $x = -2$. Интервалы: $(-\infty; -5]$, $[-5; -2]$, $[-2; +\infty)$. Решение: $x \le -5$ или $x \ge -2$. Решаем второе неравенство: $6 - x > 0$\Rightarrow$x < 6$ Учитываем оба условия: ($x \le -5$ или $x \ge -2$) и $x < 6$. Получаем: $x \le -5$ или $-2 \le x < 6$. г) $\sqrt{\frac{x - 3}{x^2 + 5x - 24}}$ Условия: * $x - 3 \ge 0$ * $x^2 + 5x - 24 > 0$ Решаем первое неравенство: $x - 3 \ge 0$\Rightarrow$x \ge 3$ Решаем второе неравенство: $x^2 + 5x - 24 > 0$\Rightarrow$(x + 8)(x - 3) > 0$ Корни: $x = -8$ и $x = 3$. Интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-8; 3)$, $(3; +\infty)$. Решение: $x < -8$ или $x > 3$. Учитываем оба условия: $x \ge 3$ и ($x < -8$ или $x > 3$). Получаем: $x > 3$. **1.31 Найдите область определения выражения:** а) $\sqrt{\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}}$ Условия: * $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} \ge 0$ * $x^2 - 5x + 6 \ne 0$ Решаем первое неравенство: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x - 3)} \ge 0$\Rightarrow$\frac{x + 3}{x - 2} \ge 0$ (при $x \ne 3$) Корни и точки разрыва: $x = -3$ и $x = 2$. Интервалы: $(-\infty; -3]$, $[-3; 2)$, $(2; +\infty)$. Решение: $x \le -3$ или $x > 2$ (и $x \ne 3$). Решаем второе условие: $x^2 - 5x + 6 \ne 0$\Rightarrow$(x - 2)(x - 3) \ne 0$\Rightarrow$x \ne 2$ и $x \ne 3$ Учитываем все условия: $x \le -3$ или $x > 2$, $x \ne 2$ и $x \ne 3$. Получаем: $x \le -3$ или $2 < x < 3$ или $x > 3$. б) $\sqrt{\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x - 6 - x^2}}$ Условия: * $\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x - 6 - x^2} \ge 0$ * $5x - 6 - x^2 \ne 0$ Решаем первое неравенство: $\frac{2x^2 - 5x + 2}{-x^2 + 5x - 6} \ge 0$\Rightarrow$\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 5x + 6} \le 0$\Rightarrow$\frac{(2x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} \le 0$\Rightarrow$\frac{2x - 1}{x - 3} \le 0$ (при $x \ne 2$) Корни и точки разрыва: $x = \frac{1}{2}$ и $x = 3$. Интервалы: $[-\infty; \frac{1}{2}]$, $[\[\frac{1}{2}; 3\)$, $(3; +\infty)$. Решение: $\frac{1}{2} \le x < 3$ (и $x \ne 2$). Решаем второе условие: $-x^2 + 5x - 6 \ne 0$\Rightarrow$x^2 - 5x + 6 \ne 0$\Rightarrow$(x - 2)(x - 3) \ne 0$\Rightarrow$x \ne 2$ и $x \ne 3$ Учитываем все условия: $\frac{1}{2} \le x < 3$, $x \ne 2$ и $x \ne 3$. Получаем: $\frac{1}{2} \le x < 2$ или $2 < x < 3$. в) $\sqrt{\frac{2 - x - x^2}{x^2 - 4}}$ Условия: * $\frac{2 - x - x^2}{x^2 - 4} \ge 0$ * $x^2 - 4 \ne 0$ Решаем первое неравенство: $\frac{-x^2 - x + 2}{x^2 - 4} \ge 0$\Rightarrow$\frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} \le 0$\Rightarrow$\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \le 0$\Rightarrow$\frac{x - 1}{x - 2} \le 0$ (при $x \ne -2$) Корни и точки разрыва: $x = 1$ и $x = 2$. Интервалы: $(-\infty; 1]$, $[1; 2)$, $(2; +\infty)$. Решение: $1 \le x < 2$ (и $x \ne -2$). Решаем второе условие: $x^2 - 4 \ne 0$\Rightarrow$(x - 2)(x + 2) \ne 0$\Rightarrow$x \ne 2$ и $x \ne -2$ Учитываем все условия: $1 \le x < 2$, $x \ne 2$ и $x \ne -2$. Получаем: $1 \le x < 2$. г) $\sqrt{\frac{3x^2 + 10x + 3}{x^2 + 8x + 15}}$ Условия: * $\frac{3x^2 + 10x + 3}{x^2 + 8x + 15} \ge 0$ * $x^2 + 8x + 15 \ne 0$ Решаем первое неравенство: $\frac{(3x + 1)(x + 3)}{(x + 3)(x + 5)} \ge 0$\Rightarrow$\frac{3x + 1}{x + 5} \ge 0$ (при $x \ne -3$) Корни и точки разрыва: $x = -\frac{1}{3}$ и $x = -5$. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}; +\infty)$. Решение: $x < -5$ или $x \ge -\frac{1}{3}$ (и $x \ne -3$). Решаем второе условие: $x^2 + 8x + 15 \ne 0$\Rightarrow$(x + 3)(x + 5) \ne 0$\Rightarrow$x \ne -3$ и $x \ne -5$ Учитываем все условия: $x < -5$ или $x \ge -\frac{1}{3}$, $x \ne -3$ и $x \ne -5$. Получаем: $x < -5$ или $-5 < x < -3$ или $x > -3$. **1.32 Решите неравенство:** а) $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 3} > \frac{3}{x + 2}$ $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 3} - \frac{3}{x + 2} > 0$\Rightarrow$\frac{(x + 3)(x + 2) + 2(x + 1)(x + 2) - 3(x + 1)(x + 3)}{(x + 1)(x + 3)(x + 2)} > 0$\Rightarrow$\frac{x^2 + 5x + 6 + 2(x^2 + 3x + 2) - 3(x^2 + 4x + 3)}{(x + 1)(x + 3)(x + 2)} > 0$\Rightarrow$\frac{x^2 + 5x + 6 + 2x^2 + 6x + 4 - 3x^2 - 12x - 9}{(x + 1)(x + 3)(x + 2)} > 0$\Rightarrow$\frac{-x + 1}{(x + 1)(x + 3)(x + 2)} > 0$\Rightarrow$\frac{x - 1}{(x + 1)(x + 3)(x + 2)} < 0$ Корни и точки разрыва: $x = 1$, $x = -1$, $x = -3$, $x = -2$. Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$. Решение: $x < -3$ или $-2 < x < -1$ или $x > 1$. б) $\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} > -3$ $\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} + 3 > 0$\Rightarrow$\frac{2(x + 1) - (x - 1) + 3(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0$\Rightarrow$\frac{2x + 2 - x + 1 + 3(x^2 - 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0$\Rightarrow$\frac{x + 3 + 3x^2 - 3}{(x - 1)(x + 1)} > 0$\Rightarrow$\frac{3x^2 + x}{(x - 1)(x + 1)} > 0$\Rightarrow$\frac{x(3x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0$ Корни и точки разрыва: $x = 0$, $x = -\frac{1}{3}$, $x = 1$, $x = -1$. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}; 0]$, $[0; 1)$, $(1; +\infty)$. Решение: $x < -1$ или $-\frac{1}{3} < x < 0$ или $x > 1$. в) $\frac{x + 1}{x - 2} > \frac{-3}{x - 2} - \frac{1}{2}$ $\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{3}{x - 2} + \frac{1}{2} > 0$\Rightarrow$\frac{2(x + 1) + 6 + (x - 2)}{2(x - 2)} > 0$\Rightarrow$\frac{2x + 2 + 6 + x - 2}{2(x - 2)} > 0$\Rightarrow$\frac{3x + 6}{2(x - 2)} > 0$\Rightarrow$\frac{3(x + 2)}{2(x - 2)} > 0$\Rightarrow$\frac{x + 2}{x - 2} > 0$ Корни и точки разрыва: $x = -2$ и $x = 2$. Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; +\infty)$. Решение: $x < -2$ или $x > 2$. г) $\frac{x - 4}{x - 3} > \frac{x - 3}{x - 4}$ $\frac{x - 4}{x - 3} - \frac{x - 3}{x - 4} > 0$\Rightarrow$\frac{(x - 4)^2 - (x - 3)^2}{(x - 3)(x - 4)} > 0$\Rightarrow$\frac{(x^2 - 8x + 16) - (x^2 - 6x + 9)}{(x - 3)(x - 4)} > 0$\Rightarrow$\frac{-2x + 7}{(x - 3)(x - 4)} > 0$\Rightarrow$\frac{2x - 7}{(x - 3)(x - 4)} < 0$ Корни и точки разрыва: $x = \frac{7}{2}$, $x = 3$, $x = 4$. Интервалы: $(-\infty; 3)$, $(3; \frac{7}{2})$, $(\frac{7}{2}; 4)$, $(4; +\infty)$. Решение: $x < 3$ или $\frac{7}{2} < x < 4$. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее! Если что, спрашивай ещё.