Можешь помочь сократить дробь $\frac{2x^2-7x+3}{3x^2-7x-6}$ и решить биквадратное уравнение $x^4 - 4x^2 - 45 = 0$?

Конечно, давай решим! **1. Сокращение дробей** а) $\frac{2x^2-7x+3}{3x^2-7x-6}$ * Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого нужно решить квадратные уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$ и $3x^2 - 7x - 6 = 0$. Для $2x^2 - 7x + 3 = 0$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Значит, $2x^2 - 7x + 3 = 2(x - 3)(x - \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x - 1)$. Для $3x^2 - 7x - 6 = 0$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$$ $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ Значит, $3x^2 - 7x - 6 = 3(x - 3)(x + \frac{2}{3}) = (x - 3)(3x + 2)$. * Сократим дробь: $$\frac{2x^2-7x+3}{3x^2-7x-6} = \frac{(x - 3)(2x - 1)}{(x - 3)(3x + 2)} = \frac{2x - 1}{3x + 2}$$ б) $\frac{2x^2+11x+5}{2x^2-5x-3}$ * Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого нужно решить квадратные уравнения $2x^2 + 11x + 5 = 0$ и $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Для $2x^2 + 11x + 5 = 0$: $$D = (11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81$$ $$x_1 = \frac{-11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 + 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{-11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 - 9}{4} = \frac{-20}{4} = -5$$ Значит, $2x^2 + 11x + 5 = 2(x + \frac{1}{2})(x + 5) = (2x + 1)(x + 5)$. Для $2x^2 - 5x - 3 = 0$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$ $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ Значит, $2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x + 1)$. * Сократим дробь: $$\frac{2x^2+11x+5}{2x^2-5x-3} = \frac{(2x + 1)(x + 5)}{(2x + 1)(x - 3)} = \frac{x + 5}{x - 3}$$ **2. Решение биквадратного уравнения** $x^4 - 4x^2 - 45 = 0$ * Введем замену $y = x^2$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 - 4y - 45 = 0$$ * Решим это квадратное уравнение: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$$ $$y_1 = \frac{4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$y_2 = \frac{4 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ * Теперь вернемся к замене $x^2 = y$: * $x^2 = 9$, тогда $x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$. * $x^2 = -5$, тогда $x = \pm \sqrt{-5}$. Так как квадрат не может быть отрицательным, вещественных корней нет, но есть комплексные: $x = \pm i\sqrt{5}$. **Ответ:** 1. а) $\frac{2x - 1}{3x + 2}$ б) $\frac{x + 5}{x - 3}$ 2. $x = \pm 3, \; x = \pm i\sqrt{5}$