Привет! Давай разберём задачи по порядку:
2. Чтобы определить, какие выражения являются целыми, а какие дробными, нужно посмотреть на знаменатель. Если в знаменателе есть переменная, то выражение дробное, иначе — целое.
а) Целые выражения: $7x^2 - 2xy$, $a(a - b) - 8$
б) Дробные выражения: $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$, $\frac{a}{9}$, $\frac{12}{b}$, $\frac{a}{a+3}$
3. Найдём значение дроби $\frac{y-1}{4}$ при разных значениях $y$:
* a) $y = 3$: $\frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$
* б) $y = 1$: $\frac{1-1}{4} = \frac{0}{4} = 0$
* в) $y = -5$: $\frac{-5-1}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$
* г) $y = \frac{1}{2}$: $\frac{\frac{1}{2}-1}{4} = \frac{-\frac{1}{2}}{4} = -\frac{1}{8} = -0,125$
* д) $y = -1,6$: $\frac{-1,6-1}{4} = \frac{-2,6}{4} = -0,65$
* е) $y = 100$: $\frac{100-1}{4} = \frac{99}{4} = 24,75$
4. Найдём значение дроби:
a) $\frac{a-8}{2a+5}$ при $a = -2$:
$$\frac{-2-8}{2 \cdot (-2)+5} = \frac{-10}{-4+5} = \frac{-10}{1} = -10$$
б) $\frac{b^2+6}{2b}$ при $b = 3$:
$$\frac{3^2+6}{2 \cdot 3} = \frac{9+6}{6} = \frac{15}{6} = 2,5$$
5. Найдём значение дроби $\frac{(a+b)^2-1}{a^2+1}$:
a) при $a = -3$, $b = -1$:
$$\frac{(-3+(-1))^2-1}{(-3)^2+1} = \frac{(-4)^2-1}{9+1} = \frac{16-1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$$
б) при $a = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, $b = 0,5 = \frac{1}{2}$:
$$\frac{(\frac{3}{2}+\frac{1}{2})^2-1}{(\frac{3}{2})^2+1} = \frac{(\frac{4}{2})^2-1}{\frac{9}{4}+1} = \frac{2^2-1}{\frac{9}{4}+\frac{4}{4}} = \frac{4-1}{\frac{13}{4}} = \frac{3}{\frac{13}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{13} = \frac{12}{13}$$
6. Чтобы заполнить таблицу, нужно подставить значения $x$ в выражение $\frac{x+5}{x-3}$:
* Если $x = -13$, то $\frac{-13+5}{-13-3} = \frac{-8}{-16} = 0,5$
* Если $x = -5$, то $\frac{-5+5}{-5-3} = \frac{0}{-8} = 0$
* Если $x = -0,2$, то $\frac{-0,2+5}{-0,2-3} = \frac{4,8}{-3,2} = -1,5$
* Если $x = 0$, то $\frac{0+5}{0-3} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$
* Если $x = \frac{1}{17}$, то $\frac{\frac{1}{17}+5}{\frac{1}{17}-3} = \frac{\frac{1}{17}+\frac{85}{17}}{\frac{1}{17}-\frac{51}{17}} = \frac{\frac{86}{17}}{\frac{-50}{17}} = \frac{86}{-50} = -\frac{43}{25} = -1,72$
* Если $x = 1$, то $\frac{1+5}{1-3} = \frac{6}{-2} = -3$
* Если $x = 5\frac{2}{3} = \frac{17}{3}$, то $\frac{\frac{17}{3}+5}{\frac{17}{3}-3} = \frac{\frac{17}{3}+\frac{15}{3}}{\frac{17}{3}-\frac{9}{3}} = \frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{32}{8} = 4$
* Если $x = 7$, то $\frac{7+5}{7-3} = \frac{12}{4} = 3$
Теперь можно заполнить таблицу:
| $x$ | -13 | -5 | -0,2 | 0 | $\frac{1}{17}$ | 1 | $5\frac{2}{3}$ | 7 |
| :----- | :-- | :- | :--- | :--- | :--------------- | :- | :------------- | :- |
| $\frac{x+5}{x-3}$ | 0,5 | 0 | -1,5 | -1$\frac{2}{3}$ | -1,72 | -3 | 4 | 3 |
7. Выразим переменные из формул:
a) Из формулы $v = \frac{s}{t}$ выразим $t$ через $s$ и $v$:
Чтобы выразить $t$, нужно умножить обе части уравнения на $t$, а затем разделить на $v$:
$$v = \frac{s}{t} \Rightarrow vt = s \Rightarrow t = \frac{s}{v}$$
б) Из формулы $\rho = \frac{m}{V}$ выразим $V$ через $\rho$ и $m$:
Чтобы выразить $V$, нужно умножить обе части уравнения на $V$, а затем разделить на $\rho$:
$$\rho = \frac{m}{V} \Rightarrow \rho V = m \Rightarrow V = \frac{m}{\rho}$$
8. Из городов A и B вышли два поезда навстречу друг другу. Расстояние между городами $s$ км, скорости поездов $v_1$ и $v_2$ км/ч. Они встретились через время $t$ часов. Выразим $t$ через $s$, $v_1$ и $v_2$.
Сумма расстояний, которые проехали поезда до встречи, равна расстоянию между городами:
$$s = v_1t + v_2t = (v_1+v_2)t$$
Выразим $t$:
$$t = \frac{s}{v_1+v_2}$$
Теперь найдём значение $t$ для двух случаев:
a) $s = 250$, $v_1 = 60$, $v_2 = 40$:
$$t = \frac{250}{60+40} = \frac{250}{100} = 2,5$$
б) $s = 310$, $v_1 = 75$, $v_2 = 80$:
$$t = \frac{310}{75+80} = \frac{310}{155} = 2$$
9. Составим дроби:
а) Числитель — произведение переменных $x$ и $y$, знаменатель — их сумма:
$$\frac{xy}{x+y}$$
б) Числитель — разность переменных $a$ и $b$, знаменатель — их произведение:
$$\frac{a-b}{ab}$$
в) Числитель — сумма переменных $c$ и $d$, знаменатель — их разность:
$$\frac{c+d}{c-d}$$
10. Чтобы рациональное выражение имело смысл, знаменатель не должен равняться нулю.
a) $\frac{x}{x-2}$ имеет смысл, если $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
б) $\frac{b+4}{b^2+7}$ имеет смысл при любых значениях $b$, так как $b^2+7$ всегда больше нуля.
в) $\frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3}$ имеет смысл, если $y \neq 0$ и $y-3 \neq 0$, то есть $y \neq 3$.
г) $\frac{a+10}{a(a-1)}$ имеет смысл, если $a(a-1) \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $a \neq 1$.
Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если остались вопросы, задавай!
