Помоги решить задачи 578, 579 и 580 по геометрии.

Задача 578. Чтобы найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением, нужно вспомнить общий вид уравнения сферы: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2,$$ где $(a, b, c)$ — координаты центра сферы, а $R$ — её радиус. a) $x^2 + y^2 + z^2 = 49$ Здесь уравнение уже имеет нужный вид. Можно сказать, что это $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 7^2$. Значит, центр сферы находится в точке $(0, 0, 0)$, а радиус равен 7. б) $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 2$ Здесь тоже всё просто. Центр сферы имеет координаты $(3, -2, 0)$, а радиус равен $\sqrt{2}$. Задача 579. Чтобы доказать, что уравнение является уравнением сферы, нужно привести его к виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, где $R > 0$. а) $x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$ Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем $(4/2)^2 = 4$: $$x^2 - 4x + 4 - 4 + y^2 + z^2 = 0$$ $$(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 4$$ Это уравнение сферы с центром в точке $(2, 0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. б) $x^2 + y^2 + z^2 - 2y = 24$ Аналогично, добавим и вычтем $(2/2)^2 = 1$: $$x^2 + y^2 - 2y + 1 - 1 + z^2 = 24$$ $$x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 25$$ Это уравнение сферы с центром в точке $(0, 1, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. в) $x^2 + 2x + y^2 + 3y + z^2 - 2z = 2,5$ Здесь нужно выделить полные квадраты по всем переменным. Добавим и вычтем $(2/2)^2 = 1$, $(3/2)^2 = 2,25$ и $(2/2)^2 = 1$: $$x^2 + 2x + 1 - 1 + y^2 + 3y + 2,25 - 2,25 + z^2 - 2z + 1 - 1 = 2,5$$ $$(x + 1)^2 + (y + 1,5)^2 + (z - 1)^2 = 2,5 + 1 + 2,25 + 1$$ $$(x + 1)^2 + (y + 1,5)^2 + (z - 1)^2 = 6,75$$ Это уравнение сферы с центром в точке $(-1, -1.5, 1)$ и радиусом $R = \sqrt{6,75}$. Задача 580. Площадь сечения шара плоскостью можно найти по формуле: $$S = \pi r^2,$$ где $r$ — радиус сечения. Радиус сечения можно найти из прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это радиус шара $R$, один из катетов — расстояние от центра шара до плоскости $d$, а другой катет — радиус сечения $r$. По теореме Пифагора: $$r^2 = R^2 - d^2$$ В нашем случае $R = 41$ дм, $d = 9$ дм. Тогда: $$r^2 = 41^2 - 9^2 = 1681 - 81 = 1600$$ $$r = \sqrt{1600} = 40 \text{ дм}$$ Теперь найдем площадь сечения: $$S = \pi (40)^2 = 1600\pi \approx 5026,55 \text{ дм}^2$$ **Ответ:** 578. а) Центр: $(0, 0, 0)$, радиус: 7. б) Центр: $(3, -2, 0)$, радиус: $\sqrt{2}$. 579. а) Центр: $(2, 0, 0)$, радиус: 2. б) Центр: $(0, 1, 0)$, радиус: 5. в) Центр: $(-1, -1.5, 1)$, радиус: $\sqrt{6,75}$. 580. $1600\pi \approx 5026,55 \text{ дм}^2$