Одна из сторон прямоугольника на 10 см меньше другой. Если меньшую сторону увеличить на 15 см, а большую на 20 см, то площадь прямоугольника увеличится в пять раз. Чему равна ширина данного прямоугольника?

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см, тогда большая сторона равна $(x + 10)$ см. Площадь прямоугольника равна $x(x + 10)$. После увеличения сторон, меньшая сторона станет $(x + 15)$ см, большая сторона станет $(x + 10 + 20) = (x + 30)$ см. Новая площадь прямоугольника равна $(x + 15)(x + 30)$. По условию, новая площадь в 5 раз больше исходной, поэтому составим уравнение: $(x + 15)(x + 30) = 5x(x + 10)$ Раскроем скобки: $x^2 + 30x + 15x + 450 = 5x^2 + 50x$ $x^2 + 45x + 450 = 5x^2 + 50x$ Перенесем все в правую часть: $0 = 4x^2 + 5x - 450$ Решим квадратное уравнение $4x^2 + 5x - 450 = 0$. $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-450) = 25 + 7200 = 7225$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{7225}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 85}{8} = \frac{80}{8} = 10$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{7225}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 85}{8} = \frac{-90}{8} = -11.25$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Итак, ширина исходного прямоугольника равна 10 см. **Ответ: 10 см**