Как решить систему уравнений x²+y² = 10, xy = 3?

Чтобы решить систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases}$, можно использовать метод подстановки или выразить одну переменную через другую из второго уравнения и подставить в первое. Вот как это делается: 1. Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения: $y = \frac{3}{x}$. 2. Подставим это выражение в первое уравнение: $x^2 + (\frac{3}{x})^2 = 10$. 3. Получаем: $x^2 + \frac{9}{x^2} = 10$. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x^2$: $x^4 + 9 = 10x^2$. 4. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x^2$: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$. 5. Введем замену $t = x^2$, тогда уравнение станет: $t^2 - 10t + 9 = 0$. 6. Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь легко видеть, что корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$. 7. Теперь вернемся к замене и найдем $x$. Если $t = 1$, то $x^2 = 1$, следовательно, $x = 1$ или $x = -1$. Если $t = 9$, то $x^2 = 9$, следовательно, $x = 3$ или $x = -3$. 8. Для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя $y = \frac{3}{x}$: * Если $x = 1$, то $y = \frac{3}{1} = 3$. * Если $x = -1$, то $y = \frac{3}{-1} = -3$. * Если $x = 3$, то $y = \frac{3}{3} = 1$. * Если $x = -3$, то $y = \frac{3}{-3} = -1$. **Ответ:** Решения системы уравнений: $(1, 3)$, $(-1, -3)$, $(3, 1)$, $(-3, -1)$.