Вычисли, используя приём представления дробей в виде разности: $\frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7}$

Давай решим эти примеры! Они все на одну и ту же тему — как представлять дроби в виде разности. Это такой хитрый способ, чтобы упростить сложение дробей. а) $\frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} = $(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$ + $(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})$ + $(\frac{1}{5} - \frac{1}{6})$ + $(\frac{1}{6} - \frac{1}{7})$ Смотри, почти все дроби сокращаются! Остаётся только первое и последнее число: $\frac{1}{3} - \frac{1}{7} = \frac{7}{21} - \frac{3}{21} = \frac{4}{21}$ б) Тут то же самое, только чисел больше: $\frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + ... + \frac{1}{19 \cdot 20} = $(\frac{1}{10} - \frac{1}{11})$ + $(\frac{1}{11} - \frac{1}{12})$ + ... + $(\frac{1}{19} - \frac{1}{20})$ Остаётся: $\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{2}{20} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20}$ в) Сначала нужно представить дроби в виде произведения: $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})$ Сокращаем и получаем: $\frac{1}{1} - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ г) И тут также: $\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \frac{1}{99} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 11}$ Тут каждая дробь представляется как разность, умноженная на $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11})$ Выносим $\frac{1}{2}$ за скобки и сокращаем: $\frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{11}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{11}{11} - \frac{1}{11}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{11} = \frac{5}{11}$ **Ответы:** а) $\frac{4}{21}$ б) $\frac{1}{20}$ в) $\frac{4}{5}$ г) $\frac{5}{11}$