Можешь доказать, что выражение а) $\frac{a-3}{a^2-9} - \frac{a^3}{3a^3+81}$ является положительным числом?

a) Давай упростим выражение $\frac{a-3}{a^2-9} - \frac{a^3}{3a^3+81}$. Сначала разложим знаменатель первой дроби: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$. Теперь выражение выглядит так: $\frac{a-3}{(a-3)(a+3)} - \frac{a^3}{3(a^3+27)}$ Сократим первую дробь: $\frac{1}{a+3} - \frac{a^3}{3(a^3+27)}$ Теперь разложим знаменатель второй дроби: $a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$. Выражение приобретает вид: $\frac{1}{a+3} - \frac{a^3}{3(a+3)(a^2-3a+9)}$ Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{3(a^2-3a+9) - a^3}{3(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{3a^2-9a+27 - a^3}{3(a+3)(a^2-3a+9)}$ $\frac{-a^3 + 3a^2 - 9a + 27}{3(a+3)(a^2-3a+9)}$ Сгруппируем числитель: $\frac{-a^2(a-3) - 9(a-3)}{3(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{(a-3)(-a^2-9)}{3(a+3)(a^2-3a+9)}$ $\frac{-(a-3)(a^2+9)}{3(a+3)(a^2-3a+9)}$ Так как $a^2 + 9 > 0$ при любых $a$, и $a^2 - 3a + 9 > 0$ (это можно проверить, выделив полный квадрат), то знак выражения зависит от знака $(a - 3)$ и $(a + 3)$. Если $a > 3$, то выражение отрицательно. Если $a < -3$, то выражение положительно. Если $-3 < a < 3$, то выражение положительно. Значит, при $a > 3$ выражение не всегда положительное. б) Упростим выражение $\frac{2b^2+8b+6}{b^2-9} + \frac{(b-1)^3}{3-b}$. Сначала разложим числитель и знаменатель первой дроби: $2b^2 + 8b + 6 = 2(b^2 + 4b + 3) = 2(b + 1)(b + 3)$ $b^2 - 9 = (b - 3)(b + 3)$ Тогда первая дробь равна: $\frac{2(b+1)(b+3)}{(b-3)(b+3)} = \frac{2(b+1)}{b-3}$ Теперь разберемся со второй дробью: $\frac{(b-1)^3}{3-b} = -\frac{(b-1)^3}{b-3}$ Объединим дроби: $\frac{2(b+1)}{b-3} - \frac{(b-1)^3}{b-3} = \frac{2(b+1) - (b-1)^3}{b-3}$ Раскроем скобки в числителе: $\frac{2b+2 - (b^3 - 3b^2 + 3b - 1)}{b-3} = \frac{2b+2 - b^3 + 3b^2 - 3b + 1}{b-3}$ $\frac{-b^3 + 3b^2 - b + 3}{b-3}$ Сгруппируем числитель: $\frac{-b^2(b-3) - (b-3)}{b-3} = \frac{-(b^2+1)(b-3)}{b-3}$ Сократим: $-(b^2 + 1)$ Так как $b^2 + 1$ всегда положительно, то $-(b^2 + 1)$ всегда отрицательно.