Найти углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме и выяснить, является ли четырёхугольник выпуклым

Для решения этой задачи, давай вспомним, что сумма углов в любом четырёхугольнике равна 360 градусов. 1. **Обозначим углы:** Пусть углы, пропорциональные числам 4, 5 и 7, будут равны $4x$, $5x$ и $7x$ соответственно. 2. **Выразим четвёртый угол:** Четвёртый угол равен полусумме этих углов, то есть $\frac{4x + 5x + 7x}{2} = \frac{16x}{2} = 8x$. 3. **Составим уравнение:** Сумма всех углов четырёхугольника равна $4x + 5x + 7x + 8x = 360$ градусов. 4. **Решим уравнение:** $24x = 360$ $x = \frac{360}{24} = 15$ 5. **Найдём углы:** Теперь найдём каждый угол: - Первый угол: $4x = 4 \cdot 15 = 60$ градусов. - Второй угол: $5x = 5 \cdot 15 = 75$ градусов. - Третий угол: $7x = 7 \cdot 15 = 105$ градусов. - Четвёртый угол: $8x = 8 \cdot 15 = 120$ градусов. 6. **Проверим, является ли четырёхугольник выпуклым:** Четырёхугольник является выпуклым, если все его углы меньше 180 градусов. В нашем случае все углы (60, 75, 105 и 120 градусов) меньше 180 градусов, значит, четырёхугольник выпуклый. **Ответ:** Углы четырёхугольника равны 60, 75, 105 и 120 градусов, и он является выпуклым.