Можешь упростить выражения: а) $\frac{2ab}{a^2-b^2} + \frac{a-b}{2a+2b} \cdot \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a}$, б) $\frac{x-y}{x^2+y^2} - \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{x}{(x-y)^2 - \frac{y}{x^2-y^2}}$?

a) Давай упростим это выражение шаг за шагом. Сначала приведем дроби в скобках к общему знаменателю. У первой дроби знаменатель $a^2 - b^2$, а у второй $2a + 2b$. Заметим, что $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и $2a + 2b = 2(a + b)$. Тогда общий знаменатель для этих двух дробей будет $2(a - b)(a + b)$. Теперь приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{2(a + b)} = \frac{2 \cdot 2ab}{2(a - b)(a + b)} + \frac{(a - b)(a - b)}{2(a + b)(a - b)} = \frac{4ab + (a - b)^2}{2(a - b)(a + b)}$$ Упростим числитель: $$4ab + (a - b)^2 = 4ab + a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$ Теперь выражение в скобках выглядит так: $$\frac{(a + b)^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{a + b}{2(a - b)}$$ Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $$\frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} = \frac{2a}{a + b} - \frac{b}{a - b} = \frac{2a(a - b) - b(a + b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{2a^2 - 2ab - ab - b^2}{(a + b)(a - b)} = \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{(a + b)(a - b)}$$ Теперь перемножим две части: $$\frac{a + b}{2(a - b)} \cdot \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{(a + b)(a - b)} = \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{2(a - b)^2}$$ б) Сначала упростим дробь в скобках: $$\frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} = \frac{x(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} = \frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2}$$ Теперь рассмотрим выражение: $$\frac{x - y}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x}{(x - y)^2 - \frac{y}{x^2 - y^2}}$$ Перемножим первые две дроби: $$\frac{x - y}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} = \frac{x(x - y)^2(x + y)}{(x^2 + y^2)^2}$$ Теперь разберемся с третьей дробью. Приведем к общему знаменателю выражение в скобках: $$(x - y)^2 - \frac{y}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)^2(x^2 - y^2) - y}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)^3(x + y) - y}{x^2 - y^2}$$ Тогда третья дробь равна: $$\frac{x}{\frac{(x - y)^3(x + y) - y}{x^2 - y^2}} = \frac{x(x^2 - y^2)}{(x - y)^3(x + y) - y}$$ Теперь умножим все вместе: $$\frac{x(x - y)^2(x + y)}{(x^2 + y^2)^2} \cdot \frac{x(x^2 - y^2)}{(x - y)^3(x + y) - y} = \frac{x^2(x - y)^2(x + y)(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2((x - y)^3(x + y) - y)}$$ **Ответ:** a) $\frac{2a^2 - 3ab - b^2}{2(a - b)^2}$, б) $\frac{x^2(x - y)^2(x + y)(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2((x - y)^3(x + y) - y)}$