Помоги мне решить задачу 474: биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр этого параллелограмма, если BK = 15 см, KC = 9 см.

474. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найди периметр этого параллелограмма, если $BK = 15$ см, $KC = 9$ см. Решение: 1) Рассмотрим треугольник $ABK$. Т.к. $AK$ - биссектриса, то $\angle BAK = \angle KAD$. Т.к. $AD \parallel BC$, то $\angle BKA = \angle KAD$ как накрест лежащие. Получаем $\angle BAK = \angle BKA$, а значит, треугольник $ABK$ - равнобедренный, и $AB = BK = 15$ см. 2) Найдем сторону $BC$: $BC = BK + KC = 15 + 9 = 24$ см. Т.к. в параллелограмме противоположные стороны равны, то $AD = BC = 24$ см. 3) Периметр параллелограмма $P = 2(AB + BC) = 2(15 + 24) = 2 \cdot 39 = 78$ см. **Ответ: 78 см** 475. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см. Допущение: рассмотрим случай, когда биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ на отрезки 7 см и 14 см. Решение: 1) Аналогично задаче 474, пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Тогда $BK = 7$ см, $KC = 14$ см. $AB = BK = 7$ см. 2) Найдем сторону $BC$: $BC = BK + KC = 7 + 14 = 21$ см. Т.к. в параллелограмме противоположные стороны равны, то $AD = BC = 21$ см. 3) Периметр параллелограмма $P = 2(AB + BC) = 2(7 + 21) = 2 \cdot 28 = 56$ см. **Ответ: 56 см** 476. Найдите углы параллелограмма $ABCD$, если: a) $\angle A = 84^\circ$; Т.к. углы прилежащие к одной стороне параллелограмма в сумме дают $180^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$. В параллелограмме противоположные углы равны, т.е. $\angle C = \angle A = 84^\circ$ и $\angle D = \angle B = 96^\circ$. **Ответ: $\angle A = \angle C = 84^\circ$ и $\angle B = \angle D = 96^\circ$** б) $\angle A - \angle B = 55^\circ$; Введём обозначения: $\angle A = x$, $\angle B = y$. Тогда получаем систему уравнений: $$\begin{cases} x - y = 55 \\ x + y = 180 \end{cases}$$ Сложим два уравнения: $$2x = 235$$ $$x = 117,5^\circ$$ $$y = 180 - 117,5 = 62,5^\circ$$ Значит, $\angle A = \angle C = 117,5^\circ$ и $\angle B = \angle D = 62,5^\circ$. **Ответ: $\angle A = \angle C = 117,5^\circ$ и $\angle B = \angle D = 62,5^\circ$** в) $\angle A + \angle C = 142^\circ$; Т.к. $\angle A = \angle C$, то $2 \cdot \angle A = 142^\circ$, отсюда $\angle A = 71^\circ$. Значит, $\angle C = 71^\circ$. $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$. Значит, $\angle D = 109^\circ$. **Ответ: $\angle A = \angle C = 71^\circ$ и $\angle B = \angle D = 109^\circ$** г) $\angle A = 2 \cdot \angle B$; $\angle A + \angle B = 180^\circ$, значит, $2 \cdot \angle B + \angle B = 180^\circ$, т.е. $3 \cdot \angle B = 180^\circ$, отсюда $\angle B = 60^\circ$. $\angle A = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. $\angle C = \angle A = 120^\circ$ и $\angle D = \angle B = 60^\circ$. **Ответ: $\angle A = \angle C = 120^\circ$ и $\angle B = \angle D = 60^\circ$** д) $\angle CAD = 16^\circ$, $\angle ACD = 37^\circ$. В параллелограмме $ABCD$ рассмотрим треугольник $ACD$. $\angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (16^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$. $\angle ABC = \angle ADC = 127^\circ$. $\angle BAC = \angle ACD = 37^\circ$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 37^\circ + 16^\circ = 53^\circ$. $\angle BCD = \angle BAD = 53^\circ$. **Ответ: $\angle A = \angle C = 53^\circ$ и $\angle B = \angle D = 127^\circ$** 477. В параллелограмме $MNPQ$ проведён перпендикуляр $NH$ к прямой $MQ$, причём точка $H$ лежит на стороне $MQ$. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что $MH = 3$ см, $HQ = 5$ см, $\angle MNH = 30^\circ$. Допущение: $\angle MNH = 30^\circ$. Решение: 1) Рассмотрим треугольник $MNH$ - прямоугольный, т.к. $NH \perp MQ$. Т.к. катет, лежащий против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы, то $MN = 2 \cdot MH = 2 \cdot 3 = 6$ см. Т.к. в параллелограмме противоположные стороны равны, то $PQ = MN = 6$ см. 2) По теореме Пифагора найдем $NH$: $NH^2 + MH^2 = MN^2$, $NH^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$, $NH = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см. 3) Найдем сторону $MQ$: $MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см. Т.к. в параллелограмме противоположные стороны равны, то $NP = MQ = 8$ см. 4) Найдем углы. $\sin \angle NMH = \frac{NH}{MN} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значит, $\angle NMH = 60^\circ$. $\angle M = 180^\circ - \angle NMH = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. $\angle P = \angle M = 120^\circ$. $\angle N = \angle Q = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. **Ответ: $MN = PQ = 6$ см, $NP = MQ = 8$ см, $\angle M = \angle P = 120^\circ$, $\angle N = \angle Q = 60^\circ$**