Ты просишь решить задачи по геометрии: лежат ли вершины параллелограмма в плоскости, если две смежные вершины и точка пересечения диагоналей лежат в плоскости α; верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника; доказать, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости

9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости $\alpha$. Чтобы ответить на вопрос, лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости $\alpha$, нужно вспомнить свойства параллелограмма. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Если точка пересечения диагоналей лежит в плоскости $\alpha$, то обе диагонали лежат в этой плоскости (потому что прямая определяется двумя точками). А если диагонали лежат в плоскости $\alpha$, то и все вершины параллелограмма лежат в плоскости $\alpha$. 10. a) Если прямая пересекает две стороны треугольника, то она не лежит в плоскости этого треугольника. Треугольник - это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, соединяющими эти точки. Все эти точки и отрезки лежат в одной плоскости. Если прямая пересекает две стороны треугольника, она должна выходить за пределы этой плоскости. б) Если прямая проходит через одну из вершин треугольника, это еще не значит, что она лежит в плоскости треугольника. Она может пересекать плоскость треугольника в этой вершине. 11. Доказательство: Пусть дана прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой. Рассмотрим любую прямую $b$, проходящую через точку $A$ и пересекающую прямую $a$ в точке $B$. Точки $A$ и $B$ определяют плоскость, в которой лежат обе прямые $a$ и $b$. Поскольку прямая $b$ была выбрана произвольно, то любая прямая, проходящая через точку $A$ и пересекающая прямую $a$, лежит в этой плоскости. Таким образом, все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.