Можешь ли ты найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z₁ = 5-6i и z₂ = -4 + 8i?

Конечно, давай решим! У нас есть два комплексных числа: $z_1 = 5 - 6i$ и $z_2 = -4 + 8i$. Нужно найти их сумму, разность, произведение и частное. Поехали! 1. Сумма ($z_1 + z_2$): Чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные и мнимые части отдельно: $$z_1 + z_2 = (5 - 6i) + (-4 + 8i) = (5 - 4) + (-6 + 8)i = 1 + 2i$$ 2. Разность ($z_1 - z_2$): Чтобы найти разность двух комплексных чисел, нужно вычесть действительные и мнимые части отдельно: $$z_1 - z_2 = (5 - 6i) - (-4 + 8i) = (5 - (-4)) + (-6 - 8)i = 9 - 14i$$ 3. Произведение ($z_1 \[\cdot\] z_2$): Чтобы умножить два комплексных числа, используем правило умножения многочленов и учитываем, что $i^2 = -1$: $$\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &= (5 - 6i) \cdot (-4 + 8i) \\ &= 5 \cdot (-4) + 5 \cdot (8i) - 6i \cdot (-4) - 6i \cdot (8i) \\ &= -20 + 40i + 24i - 48i^2 \\ &= -20 + 64i - 48(-1) \\ &= -20 + 64i + 48 \\ &= 28 + 64i \end{aligned}$$ 4. Частное ($\frac{z_1}{z_2}$): Чтобы разделить два комплексных числа, нужно умножить числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое знаменателя. Комплексно сопряжённое к $-4 + 8i$ это $-4 - 8i$: $$\begin{aligned} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{5 - 6i}{-4 + 8i} \\ &= \frac{(5 - 6i) \cdot (-4 - 8i)}{(-4 + 8i) \cdot (-4 - 8i)} \\ &= \frac{5 \cdot (-4) + 5 \cdot (-8i) - 6i \cdot (-4) - 6i \cdot (-8i)}{(-4)^2 - (8i)^2} \\ &= \frac{-20 - 40i + 24i + 48i^2}{16 - 64i^2} \\ &= \frac{-20 - 16i + 48(-1)}{16 - 64(-1)} \\ &= \frac{-20 - 16i - 48}{16 + 64} \\ &= \frac{-68 - 16i}{80} \\ &= \frac{-68}{80} - \frac{16}{80}i \\ &= -\frac{17}{20} - \frac{1}{5}i \end{aligned}$$ **Ответы:** * $z_1 + z_2 = 1 + 2i$ * $z_1 - z_2 = 9 - 14i$ * $z_1 \cdot z_2 = 28 + 64i$ * $\frac{z_1}{z_2} = -\frac{17}{20} - \frac{1}{5}i$ Вот и всё! Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как работать с комплексными числами.