Реши задания из варианта 4: найди значение выражения 2i³³ - 4i³⁶ + 3i³⁰ – 2i³⁵

Привет! Давай решим эти задания. **Задание 1a:** $i$ — это мнимая единица, и у неё есть свойство: $i^2 = -1$. Чтобы упростить выражение, надо помнить, что степени $i$ повторяются с периодом 4: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, и так далее. Тогда: * $i^{33} = i^{(4*8 + 1)} = i$ * $i^{36} = i^{(4*9)} = 1$ * $i^{30} = i^{(4*7 + 2)} = -1$ * $i^{35} = i^{(4*8 + 3)} = -i$ Подставляем: $$2i^{33} - 4i^{36} + 3i^{30} - 2i^{35} = 2i - 4(1) + 3(-1) - 2(-i) = 2i - 4 - 3 + 2i = -7 + 4i$$ **Ответ:** $-7 + 4i$ **Задание 1b:** * $i^{12} = i^{(4*3)} = 1$ * $i^{17} = i^{(4*4 + 1)} = i$ * $i^{35} = i^{(4*8 + 3)} = -i$ Подставляем: $$5i^{12} * 4i^{17} * 3i^{35} = 5 * 1 * 4 * i * 3 * (-i) = 60 * (-i^2) = 60 * (-(-1)) = 60$$ **Ответ:** 60 **Задание 2a:** $$5(y - 1) - 4xi = 16i - 15$$ Раскрываем скобки: $$5y - 5 - 4xi = 16i - 15$$ Переносим все без $y$ и $i$ в правую часть: $$5y - 4xi = 16i - 15 + 5$$ $$5y - 4xi = 16i - 10$$ Теперь приравниваем действительные и мнимые части: Действительные части: $5y = -10$, значит $y = -2$ Мнимые части: $-4x = 16$, значит $x = -4$ **Ответ:** $y = -2$, $x = -4$ **Задание 2b:** $$9x^2 + 36x + 37 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$: $$D = b^2 - 4ac = 36^2 - 4 * 9 * 37 = 1296 - 1332 = -36$$ Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-36 \pm \sqrt{-36}}{2 * 9} = \frac{-36 \pm 6i}{18} = -2 \pm \frac{1}{3}i$$ **Ответ:** $x_1 = -2 + \frac{1}{3}i$, $x_2 = -2 - \frac{1}{3}i$ **Задание 3:** Даны комплексные числа $z_1 = 5 - i$ и $z_2 = -3 + 2i$. * $z_1 + z_2 = (5 - i) + (-3 + 2i) = 5 - 3 - i + 2i = 2 + i$ * $z_1 - z_2 = (5 - i) - (-3 + 2i) = 5 - i + 3 - 2i = 8 - 3i$ * $z_1 * z_2 = (5 - i) * (-3 + 2i) = -15 + 10i + 3i - 2i^2 = -15 + 13i + 2 = -13 + 13i$ * $\frac{z_1}{z_2} = \frac{5 - i}{-3 + 2i}$. Чтобы разделить, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя: $\frac{5 - i}{-3 + 2i} * \frac{-3 - 2i}{-3 - 2i} = \frac{(5 - i) * (-3 - 2i)}{(-3)^2 + (2)^2} = \frac{-15 - 10i + 3i + 2i^2}{9 + 4} = \frac{-15 - 7i - 2}{13} = \frac{-17 - 7i}{13} = -\frac{17}{13} - \frac{7}{13}i$ **Ответы:** * $z_1 + z_2 = 2 + i$ * $z_1 - z_2 = 8 - 3i$ * $z_1 * z_2 = -13 + 13i$ * $\frac{z_1}{z_2} = -\frac{17}{13} - \frac{7}{13}i$ Надеюсь, теперь тебе всё понятно!