Выполни, пожалуйста, задания: 1) Найди промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x + 5/x; 2) Найди промежутки возрастания и убывания функции f(x) = √(x² - 4x); 3) Найди промежутки возрастания и убывания функции f(x) = sinx - √3/2 * x.

Начнём с первого задания, где нужно найти промежутки возрастания и убывания функций. 1) $f(x) = x + \frac{5}{x}$ Чтобы найти, где функция возрастает или убывает, нужно взять её производную и посмотреть, где она больше или меньше нуля. Производная $f'(x) = 1 - \frac{5}{x^2}$. Теперь надо найти, где $f'(x) > 0$ (функция возрастает) и где $f'(x) < 0$ (функция убывает). $1 - \frac{5}{x^2} > 0$ => $x^2 > 5$ => $|x| > \sqrt{5}$. Значит, функция возрастает на интервалах $(-\infty; -\sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; +\infty)$. $1 - \frac{5}{x^2} < 0$ => $x^2 < 5$ => $|x| < \sqrt{5}$. Значит, функция убывает на интервалах $(-\sqrt{5}; 0)$ и $(0; \sqrt{5})$. (Не забываем, что в точке $x = 0$ функция не определена). 2) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$ Сначала найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 4x ≥ 0$. Это происходит, когда $x(x - 4) ≥ 0$. Получается, $x ≤ 0$ или $x ≥ 4$. Теперь найдём производную: $f'(x) = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x}} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x}}$. Производная $f'(x) > 0$, когда $x > 2$. Но учитывая область определения, функция возрастает при $x > 4$. Производная $f'(x) < 0$, когда $x < 2$. Учитывая область определения, функция убывает при $x < 0$. 3) $f(x) = sin(x) - \frac{\sqrt{3}}{2}x$ Производная $f'(x) = cos(x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь найдём, где $f'(x) > 0$ и где $f'(x) < 0$. $cos(x) - \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ => $cos(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это происходит, когда $x$ находится в интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k$ - целое число. Здесь функция возрастает. $cos(x) - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ => $cos(x) < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это происходит, когда $x$ находится в интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k$ - целое число. Здесь функция убывает. Второе задание: по графику производной нужно определить промежутки возрастания функции $f$. Функция возрастает там, где её производная положительна (то есть выше оси $x$). На рисунке видно, что это происходит на интервале $(x_1; x_2)$. **Ответ:** 1) Функция $f(x) = x + \frac{5}{x}$ возрастает на интервалах $(-\infty; -\sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; +\infty)$, убывает на интервалах $(-\sqrt{5}; 0)$ и $(0; \sqrt{5})$. 2) Функция $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$ возрастает при $x > 4$, убывает при $x < 0$. 3) Функция $f(x) = sin(x) - \frac{\sqrt{3}}{2}x$ возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k)$, убывает на интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k)$. 4) Функция $f$ возрастает на интервале $(x_1; x_2)$.