Можешь доказать, что $72^3 + 34^3$ делится на 106?

a) Чтобы доказать, что $72^3 + 34^3$ делится на 106, нужно вычислить сумму кубов и проверить делимость: $72^3 = 72 * 72 * 72 = 373248$ $34^3 = 34 * 34 * 34 = 39304$ $72^3 + 34^3 = 373248 + 39304 = 412552$ Теперь проверим, делится ли 412552 на 106: $412552 \div 106 = 3892$ Так как 412552 делится на 106 без остатка, утверждение доказано. б) Доказать, что $(1^3+2^3+3^3 + \ldots + 181^3 + 182^3)$ делится на 183. Вот тут нам понадобится формула суммы кубов первых n натуральных чисел: $$S_n = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$ В нашем случае $n = 182$. $$S_{182} = \left( \frac{182 \cdot 183}{2} \right)^2 = (91 \cdot 183)^2 = 16653^2 = 277321809$$ Теперь нужно проверить, делится ли 277321809 на 183: $$277321809 \div 183 = 1515420$$ Так как 277321809 делится на 183 без остатка, утверждение доказано. в) Чтобы доказать, что $18^3 + 26^3$ делится на 176, вычислим сумму кубов: $18^3 = 18 * 18 * 18 = 5832$ $26^3 = 26 * 26 * 26 = 17576$ $18^3 + 26^3 = 5832 + 17576 = 23408$ Теперь проверим, делится ли 23408 на 176: $23408 \div 176 = 133$ Так как 23408 делится на 176 без остатка, утверждение доказано. г) Чтобы доказать, что $(2^3 + 3^3 + \ldots + 196^3 + 197^3)$ делится на 199, сначала найдем сумму кубов от $1^3$ до $197^3$, а затем вычтем $1^3 = 1$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $$S_n = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$ В нашем случае $n = 197$. $$S_{197} = \left( \frac{197 \cdot 198}{2} \right)^2 = (197 \cdot 99)^2 = 19503^2 = 380367009$$ Теперь вычтем $1^3$: $380367009 - 1 = 380367008$ Проверим, делится ли 380367008 на 199: $380367008 \div 199 = 1911392$ Так как 380367008 делится на 199 без остатка, утверждение доказано.