Вычисли значения выражений: a) ños52° cos 22° + sin 22° sin 52°

- a) Используем формулу косинуса разности углов: $\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$. В нашем случае: $\cos(52^\circ)\cos(22^\circ) + \sin(22^\circ)\sin(52^\circ) = \cos(52^\circ - 22^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. *Перевод: Используем формулу косинуса разности углов и получаем $\frac{\sqrt{3}}{2}$.* - б) Используем формулу синуса разности углов: $\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$. В нашем случае: $\sin(134^\circ)\cos(44^\circ) - \cos(134^\circ)\sin(44^\circ) = \sin(134^\circ - 44^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$. *Перевод: Используем формулу синуса разности углов и получаем 1.* - в) Используем формулу косинуса суммы углов: $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$. В нашем случае: $\cos(\frac{10\pi}{6})\cos(\frac{8\pi}{6}) - \sin(\frac{8\pi}{6})\sin(\frac{10\pi}{6}) = \cos(\frac{10\pi}{6} + \frac{8\pi}{6}) = \cos(\frac{18\pi}{6}) = \cos(3\pi) = -1$. *Перевод: Используем формулу косинуса суммы углов и получаем -1.* - г) Используем формулу синуса разности углов: $\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$. В нашем случае: $\sin(\alpha)\cos(3\alpha) - \sin(3\alpha)\cos(\alpha) = \sin(\alpha - 3\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin(2\alpha)$. *Перевод: Используем формулу синуса разности углов и получаем $-\sin(2\alpha)$.* - д) Используем формулу косинуса разности углов: $\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$. В нашем случае: $\cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \cos(\alpha)\cos(\frac{\pi}{3}) + \sin(\alpha)\sin(\frac{\pi}{3})$. У нас есть $\cos(\alpha) = -\frac{15}{17}$, и мы знаем, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, значит $\alpha$ во второй четверти, где синус положительный. Найдем $\sin(\alpha)$: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{-15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$. Значит, $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$. Теперь подставим в формулу: $\cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) = (\frac{-15}{17})\cos(\frac{\pi}{3}) + (\frac{8}{17})\sin(\frac{\pi}{3}) = (\frac{-15}{17})\cdot(\frac{1}{2}) + (\frac{8}{17})\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{-15}{34} + \frac{8\sqrt{3}}{34} = \frac{-15 + 8\sqrt{3}}{34}$. *Перевод: Используем формулу косинуса разности углов и находим $\sin(\alpha)$, затем подставляем значения в формулу и получаем $\frac{-15 + 8\sqrt{3}}{34}$.*