Реши значение выражения $\sqrt{32}\cos^2(\frac{5\pi}{8}) - \sqrt{32}\sin^2(\frac{5\pi}{8})$

9. Для решения этого задания, давай сначала упростим выражение. Помнишь основное тригонометрическое тождество? $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. Попробуем преобразовать наше выражение, используя это знание. $\sqrt{32}\cos^2(\frac{5\pi}{8}) - \sqrt{32}\sin^2(\frac{5\pi}{8}) = \sqrt{32}(\cos^2(\frac{5\pi}{8}) - \sin^2(\frac{5\pi}{8}))$ Теперь вспоминаем формулу двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$. Тогда наше выражение можно переписать так: $\sqrt{32} \cos(2 \cdot \frac{5\pi}{8}) = \sqrt{32} \cos(\frac{5\pi}{4})$ Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьей четверти, где косинус отрицательный. $\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем это значение обратно в наше выражение: $\sqrt{32} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{32}\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{64}}{2} = -\frac{8}{2} = -4$ **Ответ: -4** 10. В задаче дана формула $l = \sqrt{2Rh}$, где $l$ — расстояние до линии горизонта, $R$ — радиус Земли, и $h$ — высота наблюдателя над землей. Нам нужно найти $h$, если $l = 4$ км и $R = 6400$ км. Подставим известные значения в формулу: $4 = \sqrt{2 \cdot 6400 \cdot h}$ Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $4^2 = (\sqrt{2 \cdot 6400 \cdot h})^2$ $16 = 2 \cdot 6400 \cdot h$ Теперь выразим $h$: $h = \frac{16}{2 \cdot 6400} = \frac{16}{12800} = \frac{1}{800}$ км Чтобы было понятнее, можно перевести в метры. В одном километре 1000 метров, значит: $h = \frac{1}{800} \cdot 1000 = \frac{1000}{800} = \frac{10}{8} = 1.25$ метра Или 0,00125 км. **Ответ: 0,00125 км** 11. Давай решим эту задачу. Пусть первый рабочий делает $x$ деталей в час, тогда второй рабочий делает $x - 1$ деталь в час. Время, которое первый рабочий тратит на изготовление 99 деталей, равно $\frac{99}{x}$ часов. Время, которое второй рабочий тратит на изготовление 110 деталей, равно $\frac{110}{x-1}$ часов. Из условия задачи известно, что первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй. Составим уравнение: $\frac{110}{x-1} - \frac{99}{x} = 2$ Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{110x - 99(x-1)}{x(x-1)} = 2$ $\frac{110x - 99x + 99}{x^2 - x} = 2$ $\frac{11x + 99}{x^2 - x} = 2$ Теперь избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на $x^2 - x$: $11x + 99 = 2(x^2 - x)$ $11x + 99 = 2x^2 - 2x$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $2x^2 - 2x - 11x - 99 = 0$ $2x^2 - 13x - 99 = 0$ Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-99) = 169 + 792 = 961$ Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{961}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 31}{4} = \frac{44}{4} = 11$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{961}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 31}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$ Так как количество деталей не может быть отрицательным, второй корень не подходит. Значит, первый рабочий делает 11 деталей в час. **Ответ: 11 деталей** 12. **Допущение:** Нужно найти расстояние от точки K до вершины прямоугольника, ближайшей к точке K. Представим себе прямоугольник $ABCD$, где $O$ - точка пересечения диагоналей. $OK$ перпендикулярна плоскости прямоугольника и равна 12 см. Пусть длины сторон прямоугольника $AB = 8$ см и $BC = 6$ см. Тогда половина каждой из диагоналей равна $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{AB^2 + BC^2} = \frac{1}{2}\sqrt{8^2 + 6^2} = \frac{1}{2}\sqrt{64 + 36} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$ (или $BOK$, $COK$, $DOK$). В этом треугольнике $AO = 5$ см (половина диагонали), а $OK = 12$ см. Тогда расстояние $AK$ можно найти по теореме Пифагора: $AK = \sqrt{AO^2 + OK^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см. **Ответ: 13 см** 13. a) Давай решим уравнение $2\cos^2 x = \sqrt{3} \sin(\frac{3\pi}{2} - x)$. Вспомним формулу приведения: $\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x$. Тогда уравнение примет вид: $2\cos^2 x = \sqrt{3} (-\cos x)$ $2\cos^2 x + \sqrt{3} \cos x = 0$ Вынесем $\cos x$ за скобку: $\cos x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0$ Теперь у нас два случая: 1) $\cos x = 0$. Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число. 2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0$. Тогда $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ - целое число. Итак, решения уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $k$ и $n$ - целые числа. б) Теперь укажем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. 1) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ - При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. - При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Это значение принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. - При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это значение не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. 2) $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ - При $n = 0$: $x = \frac{5\pi}{6}$. Это значение принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. - При $n = -1$: $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$. Это значение не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. 3) $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ - При $n = 0$: $x = -\frac{5\pi}{6}$. Это значение не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. - При $n = 1$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$. Это значение не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$: $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{6}$. **Ответ:** a) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $k$ и $n$ - целые числа. б) $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{6}$. 14. Чтобы решить систему уравнений, давай сначала перепишем её: $\begin{cases} \sqrt{x - y + 5} = 3 \\ \sqrt{x + y - 5} = 11 - 2x \end{cases}$ Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней: $\begin{cases} x - y + 5 = 9 \\ x + y - 5 = (11 - 2x)^2 \end{cases}$ Упростим первое уравнение: $x - y = 4$ => $y = x - 4$ Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $x + (x - 4) - 5 = (11 - 2x)^2$ $2x - 9 = 121 - 44x + 4x^2$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $4x^2 - 44x - 2x + 121 + 9 = 0$ $4x^2 - 46x + 130 = 0$ Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его: $2x^2 - 23x + 65 = 0$ Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 65 = 529 - 520 = 9$ Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{23 + 3}{4} = \frac{26}{4} = 6.5$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{23 - 3}{4} = \frac{20}{4} = 5$ Теперь найдем соответствующие значения $y$: 1) Если $x = 6.5$, то $y = x - 4 = 6.5 - 4 = 2.5$ 2) Если $x = 5$, то $y = x - 4 = 5 - 4 = 1$ Проверим оба решения, подставив их в исходные уравнения: 1) $\begin{cases} \sqrt{6.5 - 2.5 + 5} = \sqrt{9} = 3 \\ \sqrt{6.5 + 2.5 - 5} = \sqrt{4} = 2 = 11 - 2 \cdot 6.5 = 11 - 13 = -2 \end{cases}$ - не подходит, так как $2 \neq -2$ 2) $\begin{cases} \sqrt{5 - 1 + 5} = \sqrt{9} = 3 \\ \sqrt{5 + 1 - 5} = \sqrt{1} = 1 = 11 - 2 \cdot 5 = 11 - 10 = 1 \end{cases}$ - подходит **Ответ: x = 5, y = 1** 15. Давай решим неравенство: $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(3^{x+2} - 9^x) \geq -6$. Преобразуем правую часть неравенства, используя свойства логарифмов: $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(3^{x+2} - 9^x) \geq \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(\frac{1}{\sqrt{2}})^{-6}$ $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(3^{x+2} - 9^x) \geq \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}((\frac{1}{\sqrt{2}})^{-6})$ Так как основание логарифма $\frac{1}{\sqrt{2}}$ меньше 1, при отбрасывании логарифмов знак неравенства меняется на противоположный: $3^{x+2} - 9^x \leq (\frac{1}{\sqrt{2}})^{-6}$ Преобразуем правую часть: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^{-6} = (\sqrt{2})^6 = (2^{\frac{1}{2}})^6 = 2^3 = 8$ Теперь перепишем неравенство: $3^{x+2} - 9^x \leq 8$ $3^x \cdot 3^2 - (3^x)^2 \leq 8$ $9 \cdot 3^x - (3^x)^2 \leq 8$ Обозначим $t = 3^x$. Тогда неравенство примет вид: $9t - t^2 \leq 8$ $t^2 - 9t + 8 \geq 0$ Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$ $t_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $t_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Так как коэффициент при $t^2$ положительный, парабола направлена вверх, и неравенство $t^2 - 9t + 8 \geq 0$ выполняется при $t \leq 1$ или $t \geq 8$. Вспомним, что $t = 3^x$. Тогда: 1) $3^x \leq 1$. Это означает, что $3^x \leq 3^0$, следовательно, $x \leq 0$. 2) $3^x \geq 8$. Чтобы решить это неравенство, возьмем логарифм по основанию 3 от обеих частей: $x \geq \log_3 8$. **Ответ: $x \leq 0$ или $x \geq \log_3 8$**