Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?

12. Плоскости, проходящие через точки $A, B, C$ и $A, B, D$, пересекаются, так как у них есть общая прямая $AB$. 13. а) Нет, две плоскости не могут иметь только одну общую точку. Если у двух плоскостей есть общая точка, то они пересекаются по прямой. б) Нет, две плоскости не могут иметь только две общие точки. Если у двух плоскостей есть две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти две точки. в) Да, две плоскости могут иметь только одну общую прямую. Это как раз случай их пересечения. 14. **Допущение:** Все три прямые не лежат в одной плоскости. Через каждую пару прямых можно провести плоскость. Так как прямых три, то пар будет три: (1 и 2), (1 и 3), (2 и 3). Значит, всего можно провести 3 плоскости. 15. Пусть даны три прямые, которые попарно пересекаются. Нужно доказать, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку. Если три прямые лежат в одной плоскости, то доказывать нечего. Рассмотрим случай, когда они не лежат в одной плоскости. Пусть прямые $a$, $b$ и $c$ попарно пересекаются в точках $A$, $B$ и $C$ соответственно. Предположим, что у них нет общей точки. Тогда точки $A$, $B$ и $C$ различны. Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $A$, прямые $b$ и $c$ пересекаются в точке $B$, а прямые $c$ и $a$ пересекаются в точке $C$. Так как прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости, то и точка $C$ должна лежать в этой плоскости. Аналогично, так как прямые $b$ и $c$ лежат в одной плоскости, то и точка $A$ должна лежать в этой плоскости. И так как прямые $c$ и $a$ лежат в одной плоскости, то и точка $B$ должна лежать в этой плоскости. Таким образом, точки $A$, $B$ и $C$ лежат в одной плоскости, а значит, и прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости, что противоречит нашему предположению. Следовательно, три прямые должны иметь общую точку.