Как найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см, АВ = 13 см, ВС = 14 см, СА = 15 см?

Задача 584 Чтобы найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, когда все стороны треугольника касаются сферы, можно воспользоваться следующей формулой: $$d = \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{R^2} \cdot (R-2r)^2}$$ где: $d$ - расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, $r$ - радиус вписанной окружности треугольника, $R$ - радиус сферы (в данном случае $R = 5$ см). Сначала найдем полупериметр $p$ и площадь $S$ треугольника $ABC$ со сторонами $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $CA = 15$ см. Полупериметр вычисляется по формуле: $$p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$ Площадь можно найти по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - CA)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$ Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$: $$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$$ Подставляем известные значения в формулу для расстояния $d$: $$d = \sqrt{5^2 - \frac{4^2}{5^2} \cdot (5-2 \cdot 4)^2} = \sqrt{25 - \frac{16}{25} \cdot (5-8)^2} = \sqrt{25 - \frac{16}{25} \cdot (-3)^2} = \sqrt{25 - \frac{16}{25} \cdot 9} = \sqrt{25 - \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{625 - 144}{25}} = \sqrt{\frac{481}{25}} = \frac{\sqrt{481}}{5} \approx \frac{21.93}{5} \approx 4.386$$ **Ответ: Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника примерно равно 4.386 см.**