Можешь ли ты решить задачи 2.1-2.17 про разложение числа на простые множители?

2. 1 Чтобы найти делители чисел 37, 35, и 99, надо вспомнить, что делитель - это число, на которое делится заданное число без остатка. * Для 37: это 1 и 37 (так как 37 - простое число) * Для 35: это 1, 5, 7 и 35 (так как $35 = 5 \cdot 7$) * Для 99: это 1, 3, 9, 11, 33 и 99 (так как $99 = 3 \cdot 3 \cdot 11$) 2. 2 Чтобы определить, какие из чисел 107, 123, 367, 409, 531, 557, 853, 977 являются простыми, нужно проверить, делятся ли они на какие-нибудь числа, кроме 1 и самих себя. Если делятся, то они составные, а если нет - простые. * 107, 367, 409, 557, 853, 977 - простые. * 123 = 3 * 41, 531 = 3 * 177. Числа 123 и 531 - составные. 2. 3 Чтобы доказать, что числа 2876, 4500, 777 777, 595 599 составные, нужно показать, что каждое из них делится на какое-то число, кроме 1 и самого себя: * 2876 делится на 2 (четное число). * 4500 делится на 100. * 777 777 делится на 7. * 595 599 делится на 59. 2. 4 Произведение двух простых чисел не может быть простым числом, потому что у простого числа только два делителя: 1 и само это число. А у произведения двух простых чисел будет как минимум четыре делителя: 1, первое число, второе число и само произведение. 2. 5 Площадь квадрата может быть выражена натуральным числом, если его сторона выражена натуральным числом. Например, если сторона квадрата равна 5, то его площадь будет $5 \cdot 5 = 25$. 3. 6 Объем куба может быть выражен натуральным числом, если его ребро выражено натуральным числом. Например, если ребро куба равно 3, то его объем будет $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. 4. 7 * а) Если число $a$ делится на 7, то это может быть, например, число 14. Оно составное, так как делится на 1, 2, 7 и 14. * б) Если число $a$ делится на 12, то это может быть, например, число 24. Оно составное, так как делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. 5. 8 * а) Разложим 44 и 333 на два множителя: $44 = 4 \cdot 11 = 2 \cdot 22$ $333 = 3 \cdot 111 = 9 \cdot 37$ * б) Разложим 98 и 453 на два множителя: $98 = 2 \cdot 49 = 7 \cdot 14$ $453 = 3 \cdot 151$ * в) Разложим 156 и 225 на два множителя: $156 = 2 \cdot 78 = 3 \cdot 52$ $225 = 5 \cdot 45 = 9 \cdot 25 = 15 \cdot 15$ 6. 9 * а) Чтобы разложить число на два множителя, надо найти пары чисел, при умножении которых получается это число: $20 = 1 \cdot 20 = 2 \cdot 10 = 4 \cdot 5$, то есть 3 способа. $46 = 1 \cdot 46 = 2 \cdot 23$, то есть 2 способа. $77 = 1 \cdot 77 = 7 \cdot 11$, то есть 2 способа. * б) Допущение: Размеры теплицы - целые числа. Чтобы найти размеры теплицы площадью $24 м^2$, нужно найти пары чисел, при умножении которых получается 24. Это могут быть: 1 м и 24 м; 2 м и 12 м; 3 м и 8 м; 4 м и 6 м. 7. 10 Не все четные числа являются составными. Например, число 2 является четным, но при этом простым, так как делится только на 1 и на себя (на 2). 8. 11 * а) Чтобы опровергнуть утверждение, что любое число, оканчивающееся цифрой 7, является простым, достаточно привести контрпример. Например, число 27 заканчивается на 7, но при этом делится на 3 и является составным. * б) Чтобы опровергнуть утверждение, что сумма любых двух простых чисел есть простое число, достаточно привести контрпример. Например, 2 + 3 = 5. 5 - простое число, но 2 + 5 = 7, 7 - простое число, a 2 + 7 = 9. 9 - составное число. 9. 12 Чтобы найти произведение простых чисел, нужно их просто перемножить: * а) $37 \cdot 3 = 111$ * б) $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$ * в) $11 \cdot 101 = 1111$ 10. 13 Чтобы вычислить, используя результаты предыдущего задания, нужно просто умножить полученные там результаты: * а) $101 \cdot 3 \cdot 37 = 101 \cdot 111 = 11211$ * б) $7 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 101 = 1001 \cdot 101 = 101101$ * в) $3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 = 111 \cdot 1001 = 111111$ * г) $3 \cdot 37 \cdot 11 \cdot 101 = 122211$ 11. 14 Чтобы разложить число на простые множители, нужно делить его на простые числа, начиная с наименьшего (2, 3, 5, 7, 11 и т.д.), пока не получишь в результате 1. * a) $108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^3$ $225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^2$ $270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ $512 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^9$ $945 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$ $1024 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{10}$ * б) $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ $270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ $350 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$ $450 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$ $1350 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ $4500 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3$ * в) $13 = 13$ $2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ $1225 = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7^2$ $14014 = 2 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 59$ $90720 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$ 12. 15 Двузначные числа, разложение которых состоит из двух или трёх одинаковых множителей: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ - не подходит, так как 8 - однозначное число. $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ $5 \cdot 5 = 25$ $7 \cdot 7 = 49$ $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ $2 \cdot 2 = 4$ - не подходит, так как 4 - однозначное число. $3 \cdot 3 = 9$ - не подходит, так как 9 - однозначное число. Такие числа называются степенями чисел. 13. 16 Чтобы написать все двузначные числа, в разложении которых два различных простых множителя и один из них равен: * а) 7: $7 \cdot 2 = 14, 7 \cdot 3 = 21, 7 \cdot 5 = 35, 7 \cdot 11 = 77, 7 \cdot 13 = 91$ * б) 19: $19 \cdot 2 = 38, 19 \cdot 3 = 57, 19 \cdot 5 = 95$ * в) 29: $29 \cdot 2 = 58, 29 \cdot 3 = 87$ * г) 43: $43 \cdot 2 = 86$ 14. 17 * а) $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$, $m = 2 \cdot 2 \cdot 7$. Да, $n$ делится на $m$, так как все множители $m$ есть в $n$. * б) $n = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 17$, $m = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Нет, $n$ не делится на $m$, так как в $n$ нет множителя 3. * в) $n = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 10$, $m = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$. Нет, $n$ не делится на $m$, так как в $n$ нет множителя 19. * г) $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$, $m = 35$. Нет, $n$ не делится на $m$, так как $35 = 5 \cdot 7$, но в $n$ нет множителя 7. * д) $n = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$, $m = 308$. Нет, $n$ не делится на $m$, так как $308 = 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 11$, но в $n$ нет множителей 7 и 11. * е) $n = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$, $m = 1000$. Нет, $n$ не делится на $m$, так как $1000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$, но в $n$ нет множителей 5 и 5.