Объясни, как решить уравнение $\sqrt[3]{3x^2-3} = \sqrt[3]{8x}$

Решим уравнения с доски. Ты знаешь, уравнения бывают простые и не очень, но все они решаемы, если помнить правила! 1) $\sqrt[3]{3x^2-3} = \sqrt[3]{8x}$ Чтобы решить это уравнение, нужно сначала избавиться от кубического корня. Для этого возведём обе части уравнения в куб: $$(\sqrt[3]{3x^2-3})^3 = (\sqrt[3]{8x})^3$$ $$3x^2 - 3 = 8x$$ Теперь перенесём всё в одну сторону, чтобы решить квадратное уравнение: $$3x^2 - 8x - 3 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Считаем дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$$ Теперь найдём корни: $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ **Ответ:** $x_1 = 3$, $x_2 = -\frac{1}{3}$ 2) $\sqrt{x} - x = -12$ Чтобы решить это уравнение, давай сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $t^2 = x$. Подставим это в уравнение: $$t - t^2 = -12$$ Перенесём всё в правую сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$t^2 - t - 12 = 0$$ Считаем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$ Теперь найдём корни: $$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Теперь вернёмся к замене. Так как $t = \sqrt{x}$, то: $\sqrt{x} = 4$ или $\sqrt{x} = -3$ Первое уравнение даёт: $$x = 4^2 = 16$$ Второе уравнение не имеет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным. **Ответ:** $x = 16$ 3) $\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9$ Чтобы решить это уравнение, перенесём один из корней в правую часть: $\sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x-2}$ Теперь возведём обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{x+7})^2 = (9 - \sqrt{x-2})^2$$ $$x + 7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + (x - 2)$$ Упростим уравнение: $$x + 7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + x - 2$$ $$x + 7 = x + 79 - 18\sqrt{x-2}$$ Теперь перенесём всё, что без корня, в одну сторону: $$18\sqrt{x-2} = 79 - 7$$ $$18\sqrt{x-2} = 72$$ Разделим обе части на 18: $$\sqrt{x-2} = \frac{72}{18}$$ $$\sqrt{x-2} = 4$$ Возведём обе части в квадрат: $$(\sqrt{x-2})^2 = 4^2$$ $$x - 2 = 16$$ $$x = 16 + 2$$ $$x = 18$$ **Ответ:** $x = 18$