1) Давай посмотрим на первый параллелограмм.
Сначала найдём площадь параллелограмма $ABCD$. Площадь параллелограмма можно найти, умножив основание на высоту, проведённую к этому основанию. В нашем случае, основание $AD = BC = 10$ см, а высота $BH = 8$ см.
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна:
$$S_{ABCD} = AD \cdot BH = 10 \cdot 8 = 80 \text{ см}^2$$
Теперь, когда мы знаем площадь параллелограмма, можно найти $BK$. $BK$ — это высота, проведённая к основанию $AD$, которое равно 6 см. Используем формулу площади параллелограмма еще раз:
$$S_{ABCD} = AB \cdot BK$$
$$80 = 6 \cdot BK$$
Чтобы найти $BK$, разделим площадь на сторону $AB$:
$$BK = \frac{80}{6} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$$
**Ответ: $BK = 13\frac{1}{3}$ см**
2) Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними:
$$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$
В нашем случае, $a = 6$, $b = 8$, а угол $\alpha = 150^\circ$. Синус угла $150^\circ$ равен синусу угла $30^\circ$, то есть $\frac{1}{2}$.
$$S = 6 \cdot 8 \cdot \sin(150^\circ) = 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 24$$
**Ответ: 24**
3) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию.
В данном случае, у нас есть прямоугольный треугольник, где один из углов равен $45^\circ$. Это означает, что второй острый угол тоже равен $45^\circ$ (так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, и один угол прямой — $90^\circ$). Следовательно, это равнобедренный прямоугольный треугольник, и катеты равны. Один катет равен 4, значит, и другой катет тоже равен 4.
Теперь можем найти площадь треугольника $ABC$:
$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$$
**Ответ: 8**
4) Давай разбираться.
Для начала, нам нужно найти площадь треугольника $ABC$. У нас есть две стороны ($AB = 9$ и $AC = 12$) и угол между ними ($100^\circ$).
Площадь треугольника можно найти по формуле:
$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$$
Но у нас нет значения $\sin(100^\circ)$.
**Недостаточно данных для точного решения.**
Нужно знать величину $\sin(100^\circ)$.
5) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию.
В данном случае, у нас есть прямоугольный треугольник, где один из углов равен $45^\circ$. Это означает, что второй острый угол тоже равен $45^\circ$ (так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, и один угол прямой — $90^\circ$). Следовательно, это равнобедренный прямоугольный треугольник, и катеты равны. $AH = BH = 6$.
$HC = 3$
Тогда $AC = AH + HC = 6 + 3 = 9$
Теперь можем найти площадь треугольника $ABC$:
$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27$$
**Ответ: 27**
6) Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
Если два угла равны $75^\circ$, то третий угол равен:
$$180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ$$
Теперь у нас есть две стороны ($AB = AC = 12$) и угол между ними ($30^\circ$).
Площадь треугольника можно найти по формуле:
$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$$
$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 36$$
**Ответ: 36**
7) Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то $AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Площадь ромба $S$ равна половине произведения его диагоналей, то есть
$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$
Из этого выражения можно найти длину диагонали $BD$:
$$BD = \frac{2S}{AC} = \frac{2 \cdot 48}{12} = \frac{96}{12} = 8$$
**Ответ: $BD = 8$**
8) Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BK$$
Из условия $BC:AD = 2:3$. Пусть $BC = 2x$, $AD = 3x$. Тогда:
$$60 = \frac{2x + 3x}{2} \cdot 6$$
$$60 = \frac{5x}{2} \cdot 6$$
$$60 = 15x$$
$$x = \frac{60}{15} = 4$$
Тогда $BC = 2 \cdot 4 = 8$ см, $AD = 3 \cdot 4 = 12$ см.
**Ответ: $BC = 8$, $AD = 12$**
9) Так как это прямоугольник, то угол между сторонами равен $90^\circ$.
$$S_{ABCD} = AD \cdot AB$$
$$tg(45^\circ) = \frac{CD}{AD}$$
$$AD = \frac{CD}{tg(45^\circ)} = \frac{5}{1} = 5$$
$$S_{ABCD} = 5 \cdot 5 = 25$$
**Ответ: 25**
