Как доказать, что четырёхугольник BMDK - параллелограмм, если из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB≠BC и угол A острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой AC?

Question

Вопрос:

Как доказать, что четырёхугольник BMDK - параллелограмм, если из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB≠BC и угол A острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой AC?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы доказать, что четырёхугольник $BMDK$ — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны. 1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. 2. $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$, следовательно, $BK \parallel DM$. 3. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CDM$. У них $AB = CD$ (как противоположные стороны параллелограмма) и $\angle BAK = \angle DCM$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$). Следовательно, $\triangle ABK = \triangle CDM$ по гипотенузе и острому углу. 4. Из равенства треугольников следует, что $AK = CM$ и $BK = DM$. 5. Так как $BK \parallel DM$ и $BK = DM$, то четырёхугольник $BMDK$ — параллелограмм (по признаку: если две стороны четырёхугольника равны и параллельны, то это параллелограмм). **Ответ:** Четырёхугольник $BMDK$ — параллелограмм.

Ответ ассистента

Другие решения