Ты просишь меня сравнить числа, найти значения выражений и выполнить действия со степенями из заданий 32-36

Конечно, давай решим! 32. а) Сравним $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$. Чтобы было проще сравнивать, возведём оба числа в квадрат: $$(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$$ $$(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$$ Так как $75 > 45$, то $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$. б) Сравним $0,1\sqrt{4500}$ и $\sqrt{45}$. Упростим первое выражение: $$0,1\sqrt{4500} = 0,1\sqrt{45 \cdot 100} = 0,1 \cdot 10 \sqrt{45} = \sqrt{45}$$ Значит, $0,1\sqrt{4500} = \sqrt{45}$. в) Сравним $0,3\sqrt{10}$ и $0,1\sqrt{80}$. Снова возведём в квадрат: $$(0,3\sqrt{10})^2 = 0,09 \cdot 10 = 0,9$$ $$(0,1\sqrt{80})^2 = 0,01 \cdot 80 = 0,8$$ Так как $0,9 > 0,8$, то $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$. г) Сравним $-4\sqrt{0,2}$ и $-\sqrt{0,7}$. Возведём в квадрат (помни, что при возведении в квадрат отрицательное число станет положительным, и знак неравенства изменится): $$(-4\sqrt{0,2})^2 = 16 \cdot 0,2 = 3,2$$ $$(-\sqrt{0,7})^2 = 0,7$$ Так как $3,2 > 0,7$, то $-4\sqrt{0,2} < -\sqrt{0,7}$. 33. а) Найдем значение выражения $12\frac{2}{5} - 2^2 : 1\frac{19}{21}$: Сначала выполним действия в смешанных дробях и возведение в степень: $$12\frac{2}{5} = \frac{12 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{62}{5}$$ $$1\frac{19}{21} = \frac{1 \cdot 21 + 19}{21} = \frac{40}{21}$$ $$2^2 = 4$$ Теперь подставим в исходное выражение: $$\frac{62}{5} - 4 : \frac{40}{21} = \frac{62}{5} - 4 \cdot \frac{21}{40} = \frac{62}{5} - \frac{21}{10} = \frac{124 - 21}{10} = \frac{103}{10} = 10,3$$ б) Найдем значение выражения $(12\frac{2}{5} - 2^2) : 1\frac{19}{21}$: Мы уже знаем, что $12\frac{2}{5} = \frac{62}{5}$ и $2^2 = 4$, а также $1\frac{19}{21} = \frac{40}{21}$. Подставим: $$(\frac{62}{5} - 4) : \frac{40}{21} = (\frac{62}{5} - \frac{20}{5}) : \frac{40}{21} = \frac{42}{5} : \frac{40}{21} = \frac{42}{5} \cdot \frac{21}{40} = \frac{21}{5} \cdot \frac{21}{20} = \frac{441}{100} = 4,41$$ 34. а) Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел $2,4 \cdot 10^{-2}$ и $0,0125 \cdot 10^3$: Сначала упростим числа: $$2,4 \cdot 10^{-2} = 2,4 \cdot 0,01 = 0,024$$ $$0,0125 \cdot 10^3 = 0,0125 \cdot 1000 = 12,5$$ Теперь найдем сумму, разность, произведение и частное: Сумма: $0,024 + 12,5 = 12,524$ Разность: $12,5 - 0,024 = 12,476$ Произведение: $0,024 \cdot 12,5 = 0,3$ Частное: $12,5 : 0,024 = \frac{12,5}{0,024} = \frac{12500}{24} = \frac{3125}{6} \approx 520,83$ б) Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел $(1,3 \cdot 10^{-2})^2$ и $5,2 \cdot 10^{-5}$: Сначала упростим числа: $$(1,3 \cdot 10^{-2})^2 = (1,3 \cdot 0,01)^2 = (0,013)^2 = 0,000169$$ $$5,2 \cdot 10^{-5} = 5,2 \cdot 0,00001 = 0,000052$$ Теперь найдем сумму, разность, произведение и частное: Сумма: $0,000169 + 0,000052 = 0,000221$ Разность: $0,000169 - 0,000052 = 0,000117$ Произведение: $0,000169 \cdot 0,000052 = 0,000000008788$ Частное: $0,000169 : 0,000052 = \frac{0,000169}{0,000052} = \frac{169}{52} = \frac{13}{4} = 3,25$ 35. а) Найдите значение выражения $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$: Используем свойства степеней: $$(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$$ Теперь выражение выглядит так: $$7^5 \cdot 7^8 : 7^{11} = 7^{5+8} : 7^{11} = 7^{13} : 7^{11} = 7^{13-11} = 7^2 = 49$$ б) Найдите значение выражения $11^{-4} : 11^{13} \cdot 11^{17}$: Используем свойства степеней: $$11^{-4} : 11^{13} \cdot 11^{17} = 11^{-4-13+17} = 11^0 = 1$$ г) Найдите значение выражения $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$: Сначала упростим выражение, используя свойства степеней: $$(5^{-2})^{13} = 5^{-2 \cdot 13} = 5^{-26}$$ $$25^{14} = (5^2)^{14} = 5^{2 \cdot 14} = 5^{28}$$ Теперь выражение выглядит так: $$10 : 5^{-26} : 5^{28} = 10 : 5^{-26+28} = 10 : 5^2 = 10 : 25 = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$$ 36. а) \textbf{Допущение:} Тут опечатка и требуется упростить выражение $\frac{15^5}{12^5}$. Представим $15$ как $3 \cdot 5$, а $12$ как $3 \cdot 4$: $$\frac{15^5}{12^5} = \frac{(3 \cdot 5)^5}{(3 \cdot 4)^5} = \frac{3^5 \cdot 5^5}{3^5 \cdot 4^5} = \frac{5^5}{4^5} = (\frac{5}{4})^5 = (1,25)^5 \approx 3,05$$ б) \textbf{Допущение:} Тут опечатка и требуется упростить выражение $\frac{15^5}{12^5}$. Представим $15$ как $3 \cdot 5$, а $12$ как $3 \cdot 4$: $$\frac{15^5}{12^5} = \frac{(3 \cdot 5)^5}{(3 \cdot 4)^5} = \frac{3^5 \cdot 5^5}{3^5 \cdot 4^5} = \frac{5^5}{4^5} = (\frac{5}{4})^5 = (1,25)^5 \approx 3,05$