Можешь решить неравенство 4 * (x³ + x²) / (x² - 2x + 1) ≤ 9 * (x + 1) / (x² - 2x + 1)

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Вот шаги, которые помогут нам это сделать: 1. **Перенесем все в одну сторону:** Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы справа остался ноль: $$4 \cdot \frac{x^3+x^2}{x^2-2x+1} - 9 \cdot \frac{x+1}{x^2-2x+1} \leq 0$$ 2. **Приведем к общему знаменателю:** У нас уже есть общий знаменатель, так что просто объединим числители: $$\frac{4(x^3+x^2) - 9(x+1)}{x^2-2x+1} \leq 0$$ 3. **Раскроем скобки и упростим числитель:** Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе: $$\frac{4x^3+4x^2 - 9x - 9}{x^2-2x+1} \leq 0$$ 4. **Разложим числитель и знаменатель на множители:** Заметим, что $x^2 - 2x + 1$ это $(x-1)^2$. Теперь попробуем разложить числитель. Можно заметить, что при $x = -1$ числитель обращается в ноль, значит, $(x+1)$ является множителем. Разделим столбиком или подбором: $$4x^3 + 4x^2 - 9x - 9 = (x+1)(4x^2 - 9)$$ $$4x^2 - 9$$ это разность квадратов, так что раскладываем дальше: $$4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)$$ Теперь наше неравенство выглядит так: $$\frac{(x+1)(2x-3)(2x+3)}{(x-1)^2} \leq 0$$ 5. **Найдем нули числителя и знаменателя:** Нули числителя: $x = -1$, $x = \frac{3}{2}$, $x = -\frac{3}{2}$. Нули знаменателя: $x = 1$. 6. **Нарисуем числовую прямую и отметим точки:** Отметим все эти точки на числовой прямой. Важно помнить, что точки, где знаменатель равен нулю, должны быть исключены (пустые точки), так как на ноль делить нельзя. А ещё, так как у нас $(x-1)^2$ - всегда положительное число, кроме точки $x=1$, можно не учитывать его при определении знаков. 7. **Определим знаки на интервалах:** Возьмем значения из каждого интервала и подставим в упрощенное неравенство, чтобы определить знаки. Например: - $x < -\frac{3}{2}$: возьмем $x = -2$, получаем $\frac{(-)(-)(-)}{(+)} < 0$ (отрицательно) - $-\frac{3}{2} < x < -1$: возьмем $x = -1.25$, получаем $\frac{(+)(-)(-)}{(+)} > 0$ (положительно) - $-1 < x < 1$: возьмем $x = 0$, получаем $\frac{(+)(-)(+)}{(+)} < 0$ (отрицательно) - $1 < x < \frac{3}{2}$: возьмем $x = 1.25$, получаем $\frac{(+)(-)(+)}{(+)} < 0$ (отрицательно) - $x > \frac{3}{2}$: возьмем $x = 2$, получаем $\frac{(+)(+)(+)}{(+)} > 0$ (положительно) 8. **Запишем решение:** Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Учитываем нули числителя и исключаем нули знаменателя. Получаем: $$x \in \left(-\infty; -\frac{3}{2}\right] \cup [-1; 1) \cup (1; \frac{3}{2}]$$ **Ответ:** $x \in \left(-\infty; -\frac{3}{2}\right] \cup [-1; 1) \cup (1; \frac{3}{2}]$