Реши задачи 473, 474, 475 про периметр параллелограмма и задачу 476, a) про углы параллелограмма, если ∠A = 84°.

473. Давай решим задачу про параллелограмм ABCD! Допущение: Нужно найти стороны параллелограмма AB и BC, так как углы A и C равны, а углы B и D равны. * Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов. Поскольку углы A и C равны, и угол C равен 30 градусам, то и угол A тоже равен 30 градусам. * Сумма углов B и D равна 360 - 30 - 30 = 300 градусов. Так как углы B и D тоже равны, то каждый из них равен 150 градусам. * Теперь представь, что у нас есть высота BH, которая опущена на сторону CD. Получается прямоугольный треугольник BHC. В этом треугольнике угол C равен 30 градусам. Значит, сторона BH является катетом, лежащим против угла в 30 градусов, и равна половине гипотенузы BC. То есть, BC = 2 * BH = 2 * 6,5 = 13 см. * Периметр параллелограмма равен 50 см. Периметр - это сумма длин всех сторон. Значит, 2 * (AB + BC) = 50. Отсюда AB + BC = 25. Подставляем BC = 13, получаем AB = 25 - 13 = 12 см. **Ответ: Стороны параллелограмма равны 12 см и 13 см.** 474. Сейчас помогу найти периметр параллелограмма ABCD! * Биссектриса угла A делит угол A пополам. Обозначим угол BAK как x, тогда угол KAD тоже x, и угол A равен 2x. * Углы BAK и AKB равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AK. Значит, угол AKB тоже равен x. * В треугольнике ABK углы BAK и AKB равны, следовательно, этот треугольник равнобедренный, и сторона BK равна стороне AB. Так как BK = 15 см, то и AB = 15 см. * Сторона BC состоит из отрезков BK и KC. Значит, BC = BK + KC = 15 + 9 = 24 см. * Теперь, когда мы знаем две стороны параллелограмма, мы можем найти его периметр. Периметр P = 2 * (AB + BC) = 2 * (15 + 24) = 2 * 39 = 78 см. **Ответ: Периметр параллелограмма равен 78 см.** 475. Сейчас решим задачу про периметр параллелограмма! Допущение: биссектриса выходит из угла A и делит сторону BC. * Представь, что биссектриса угла A поделила сторону BC на отрезки 7 см и 14 см. Тогда вся сторона BC будет равна 7 + 14 = 21 см. * Биссектриса угла A образует равные углы с обеими сторонами угла A. Один из этих углов будет равен углу, который образуется при пересечении биссектрисы со стороной BC (как накрест лежащие углы). * Это значит, что образовался равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны. Одна из боковых сторон - это часть стороны BC (14 см), а другая - сторона AB параллелограмма. Значит, сторона AB тоже равна 14 см. * Теперь, чтобы найти периметр параллелограмма, нужно сложить все его стороны: P = 2 * (AB + BC) = 2 * (14 + 21) = 2 * 35 = 70 см. **Ответ: Периметр параллелограмма равен 70 см.** 476. a) Если ∠A = 84°, то ∠C = 84° (противоположные углы параллелограмма равны). ∠B = ∠D = (360° - 84° - 84°) / 2 = 96°. б) Если ∠A – ∠B = 55°, то ∠A + ∠B = 180° (сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма). Решаем систему уравнений: ∠A – ∠B = 55° и ∠A + ∠B = 180°. Сложив уравнения, получим 2∠A = 235°, следовательно, ∠A = 117,5°. Тогда ∠B = 180° - 117,5° = 62,5°. ∠C = ∠A = 117,5°, ∠D = ∠B = 62,5°. в) Если ∠A + ∠C = 142°, то 2∠A = 142° (т.к. ∠A = ∠C). ∠A = 71°. ∠C = ∠A = 71°. ∠B = ∠D = (360° - 71° - 71°) / 2 = 109°. г) Если ∠A = 2∠B, то ∠A + ∠B = 180°. Подставляем ∠A = 2∠B: 2∠B + ∠B = 180°, 3∠B = 180°, ∠B = 60°. Тогда ∠A = 2 * 60° = 120°. ∠C = ∠A = 120°, ∠D = ∠B = 60°. д) Допущение: диагональ AC делит параллелограмм ABCD. Если ∠CAD = 16° и ∠ACD = 37°, то ∠ADC = 180° - 16° - 37° = 127° (сумма углов треугольника ADC). ∠ABC = ∠ADC = 127° (противоположные углы параллелограмма равны). ∠BAC = ∠BCA = (180° - 127°) / 2 = 26,5°. 477. Давай решим задачу про параллелограмм MNPQ! Допущение: нужно найти только стороны и углы параллелограмма MNPQ. * В прямоугольном треугольнике MNH, где угол MNH равен 30 градусам, катет MH равен половине гипотенузы MN (по свойству угла в 30 градусов). Значит, MN = 2 * MH = 2 * 3 = 6 см. * Чтобы найти сторону MQ, нужно сложить отрезки MH и HQ: MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8 см. * Теперь нам нужно найти углы параллелограмма. Угол MNH = 30 градусов, тогда угол NMH = 90 - 30 = 60 градусов. * Угол M = углу P и угол N = углу Q. **Ответ: Стороны MN=6 см и MQ=8 см, углы: M=P=60 градусов, N=Q=(360-60-60)/2=120 градусов**