Объясни, как решить задания 33-37 про симметрию множеств и чётность/нечётность функций

Давай разберёмся с этими заданиями! **33.** Чтобы множество было симметричным относительно нуля, это значит, что для каждого числа в множестве должно быть и противоположное ему число. Например, если 2 есть в множестве, то и -2 должно быть там же. * **A**: Не симметрично, так как нет нуля. * **B**: Не симметрично, по той же причине. * **C**: Симметрично, так как если есть число больше 1, то есть и число меньше -1. * **D**: Симметрично, так как включает в себя все числа от -2 до 2, то есть для каждого числа есть и противоположное. **34.** Функция называется чётной, если $f(x) = f(-x)$. Проверим: а) $f(x) = x^4 - 7x^2$ $f(-x) = (-x)^4 - 7(-x)^2 = x^4 - 7x^2$. Функция чётная. б) $f(x) = 5|x|$ $f(-x) = 5|-x| = 5|x|$. Функция чётная. б) $f(x) = \frac{1}{x^2}$ $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2}$. Функция чётная. г) $f(x) = (x - 7)(x + 5) + 2x = x^2 - 2x - 35$ $f(-x) = (-x - 7)(-x + 5) - 2x = x^2 + 2x - 35$. Функция нечётная. **35.** Функция называется нечётной, если $f(-x) = -f(x)$. Проверим: а) $g(x) = x - x^3$ $g(-x) = -x - (-x)^3 = -x + x^3 = -(x - x^3)$. Функция нечётная. б) $g(x) = \frac{1}{x^3 + x}$ $g(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + (-x)} = \frac{1}{-x^3 - x} = -\frac{1}{x^3 + x}$. Функция нечётная. в) $g(x) = (x - 5)^2 - (x + 5)^2 = x^2 - 10x + 25 - (x^2 + 10x + 25) = -20x$ $g(-x) = -20(-x) = 20x = -(-20x)$. Функция нечётная. г) $g(x) = |x + 7| - |x - 7|$ $g(-x) = |-x + 7| - |-x - 7| = |7 - x| - |-7 - x| = |7 - x| - |x + 7| = -(|x + 7| - |x - 7|)$. Функция нечётная. **36.** Функция не является чётной или нечётной, если $f(x) \neq f(-x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Проверим: a) $h(x) = \frac{2x^2 - 2}{3x - 1}$ $h(-x) = \frac{2(-x)^2 - 2}{3(-x) - 1} = \frac{2x^2 - 2}{-3x - 1}$. б) $h(x) = \frac{2x - 1}{3x^2 - 3}$ $h(-x) = \frac{2(-x) - 1}{3(-x)^2 - 3} = \frac{-2x - 1}{3x^2 - 3}$. в) $h(x) = \frac{|x| + 1}{x + 1}$ $h(-x) = \frac{|-x| + 1}{-x + 1} = \frac{|x| + 1}{-x + 1}$. г) $h(x) = \frac{x^3 + 1}{x - 1}$ $h(-x) = \frac{(-x)^3 + 1}{-x - 1} = \frac{-x^3 + 1}{-x - 1}$. **37.** Функция чётная, если $\varphi(x) = \varphi(-x)$, и нечётная, если $\varphi(-x) = -\varphi(x)$. a) $\varphi(x) = \frac{x^2}{x^2 - 3}$ $\varphi(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 - 3} = \frac{x^2}{x^2 - 3}$. Функция чётная. б) $\varphi(x) = \frac{8}{7x}$ $\varphi(-x) = \frac{8}{7(-x)} = -\frac{8}{7x}$. Функция нечётная. в) $\varphi(x) = |x - 2|$ $\varphi(-x) = |-x - 2|$. г) $\varphi(x) = x^2$, где $-1 < x < 2$ $\varphi(-x) = (-x)^2 = x^2$. Функция чётная. д) $\varphi(x) = x^3 + x$, где $-3 < x < 1$ $\varphi(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x)$. Функция нечётная. е) $\varphi(x) = x^4$, где $x \in (-5; -1] \cup [1; 5)$? $\varphi(-x) = (-x)^4 = x^4$. Функция чётная.